Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de parâmetro de uma função composta: temos w = ln\frac{x^3 y^2}{5z} com x = 7t, y = e\sec t e z = \cot t. Vamos usar o conteúdo de derivada de ln e regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro simplificamos w usando propriedades de logaritmo:
Passo 3
Agora aplicamos derivada em relação a t. Como
é constante, sua derivada some. Pelas regras de derivada de
e da cadeia:
Passo 4
Calculamos as derivadas de cada variável:
-
implica . -
implica . -
implica .
Passo 5
Substituindo em
e simplificando:
Passo 6
Observando que
, isso dá
no primeiro termo, o segundo é
e o terceiro torna-se
. Portanto chegamos ao resultado final.