Calcule partial wpartial t, onde w=ln x^3 y^25 z ; x=7 t ; y=sec t e z=cot t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de parâmetro de uma função composta: temos w = ln\frac{x^3 y^2}{5z} com x = 7t, y = e\sec t e z = \cot t. Vamos usar o conteúdo de derivada de ln e regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro simplificamos w usando propriedades de logaritmo:
w = ln(x^3) + ln(y^2) - ln5 - ln z = 3ln x + 2ln y - ln5 - ln z

Passo 3

Agora aplicamos derivada em relação a t. Como ln5 é constante, sua derivada some. Pelas regras de derivada de ln u(t) e da cadeia:
dwdt = 31xdxdt + 21ydydt - 1zdzdt

Passo 4

Calculamos as derivadas de cada variável:
  • x = 7t implica dx/dt = 7.
  • y = esec t implica dy/dt = esec ttan t.
  • z = cot t implica dz/dt = -csc^2 t.

Passo 5

Substituindo em dw/dt e simplificando:
dwdt = 37x + 2esec ttan tesec t - -csc^2 tcot t

Passo 6

Observando que x=7t, isso dá 21/(7t)=3/t no primeiro termo, o segundo é 2tan t e o terceiro torna-se +csc^2 t/cot t = sec tcsc t. Portanto chegamos ao resultado final.

Resposta

3t + 2tan t + sec tcsc t

Exercícios relacionados