Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(f) Se
é contínua em
então é diferenciável em
.
(f) Se
Passo 1
O enunciado traz a afirmação “Se uma função f é contínua em (a,b) então f é diferenciável em (a,b)”. Estamos no tópico de relação entre continuidade e diferenciabilidade, e vamos precisar entender a definição de cada conceito e lembrar que diferenciabilidade implica continuidade mas não o contrário.
Passo 2
Recordando a teoria, dizemos que f é diferenciável em um ponto c se existir o limite do quociente incremental
finito. Já a continuidade em c exige
Sabemos pelo teorema que diferenciabilidade implica continuidade, mas não há teorema que garanta o inverso.
Passo 3
Para ver que a afirmação é falsa, apresentamos um contraexemplo clássico: a função valor absoluto em torno de zero. Definimos
que é contínua em todo
contendo zero, mas não é diferenciável em
, pois os limites laterais do quociente incremental não coincidem.
Passo 4
Como encontramos um contraexemplo que satisfaz continuidade em um ponto interior de
mas falha na diferenciabilidade, concluímos que a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.