Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(f) Se f é contínua em (a, b) então é diferenciável em (a, b).

Passo 1

O enunciado traz a afirmação “Se uma função f é contínua em (a,b) então f é diferenciável em (a,b)”. Estamos no tópico de relação entre continuidade e diferenciabilidade, e vamos precisar entender a definição de cada conceito e lembrar que diferenciabilidade implica continuidade mas não o contrário.

Passo 2

Recordando a teoria, dizemos que f é diferenciável em um ponto c se existir o limite do quociente incremental
limxto cf(x)-f(c)x-c
finito. Já a continuidade em c exige
limxto cf(x)=f(c)
Sabemos pelo teorema que diferenciabilidade implica continuidade, mas não há teorema que garanta o inverso.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, apresentamos um contraexemplo clássico: a função valor absoluto em torno de zero. Definimos
f(x)=|x|,
que é contínua em todo (a,b) contendo zero, mas não é diferenciável em x=0, pois os limites laterais do quociente incremental não coincidem.

Passo 4

Como encontramos um contraexemplo que satisfaz continuidade em um ponto interior de (a,b) mas falha na diferenciabilidade, concluímos que a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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