Justifique a diferenciabilidade de f(x, y)=ln (x^2+y^2) no ponto ( 1,0 ).
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
f(x, y)=ln (x^2+y^2) no ponto (1,0,0). Encontre uma aproximação para ln (1.001^2+0.001^2).

Passo 1

Vamos resumir: a função em questão é f(x,y)=ln(x²+y²) e queremos mostrar que ela é diferenciável em (1,0), em seguida achar a equação do plano tangente ao gráfico de f em (1,0,0) e por fim usar essa linearização para aproximar ln(1.001²+0.001²). Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais, verificar sua continuidade e aplicar a fórmula do plano tangente e da aproximação linear.

Passo 2

Como f(x,y)=ln(u) com u=x²+y², pelas regras de derivação de ln(u) temos estas derivadas parciais:
partial fpartial x=2xx^2+y^2, partial fpartial y=2yx^2+y^2
Avaliando em (1,0) dá
e

Passo 3

Para justificar diferenciabilidade: note que em torno de (1,0) temos x²+y²>0, então as derivadas parciais existem e são funções racionais sem problemas de denominador, logo são contínuas numa vizinhança de (1,0). Pelo teorema de diferenciabilidade, f é diferenciável em (1,0).

Passo 4

A equação geral do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)) é
z=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)
Aqui (a,b)=(1,0), f(1,0)=ln(1)=0, f_x(1,0)=2, f_y(1,0)=0. Então
z=0+2(x-1)+0cdot(y-0)=2x-2

Passo 5

Para aproximar ln(1.001²+0.001²), interpretamos isso como f(1+Δx,0+Δy) com Δx=0.001 e Δy=0.001. Pela linearização,
f(1+Δx,Δy)approx f(1,0)+fx(1,0)Δx+fy(1,0)Δy=0+2cdot0.001+0=0.002

Resposta

f é diferenciável em (1,0); o plano tangente é z=2x-2; e ln(1.001²+0.001²)≈0.002.

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