CALCULE \partial z / \partial u E \partial z / \partial v PARA CADA UMA DAS SEGUINTES FUNÇÕES E EXPRESSE O
RESULTADO EM FUNÇÃO SOMENTE DAS VARIÁVEIS u E v

& w=f(x, y, z)=3 x^2-2 x y+4 z^2 & x=x(u, v)=e^u sin v & y=y(u, v)=e^u cos v & z=z(u, v)=e^u

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial w/partial u e partial w/partial v onde
w = f(x,y,z) = 3x^2 - 2xy + 4z^2,
com as substituições
x = x(u,v) = e^u sin v, y = y(u,v) = e^u cos v, z = z(u,v) = e^u
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos das derivadas parciais de f e das derivadas de x,y,z em relação a u e a v:
As derivadas de f:
fx = partialpartial x(3x^2 - 2xy + 4z^2) = 6x - 2y,
fy = partialpartial y(3x^2 - 2xy + 4z^2) = -2x,
fz = partialpartial z(3x^2 - 2xy + 4z^2) = 8z
As derivadas de x,y,z:
xu = partialpartial u(e^u sin v) = e^u sin v, yu = partialpartial u(e^u cos v) = e^u cos v, zu = partialpartial u(e^u) = e^u;
xv = partialpartial v(e^u sin v) = e^u cos v, yv = partialpartial v(e^u cos v) = -,e^u sin v, zv = partialpartial v(e^u) = 0

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial w/partial u:
partial wpartial u = fx,xu + fy,yu + fz,zu
Substituindo:
fx = 6x - 2y, xu = e^usin v; fy = -2x, yu = e^ucos v; fz = 8z, zu = e^u
Logo,
partial wpartial u = (6x - 2y),e^usin v + (-2x),e^ucos v + (8z),e^u
Substituindo x=e^usin v, y=e^ucos v, z=e^u:
6x - 2y = 6e^usin v - 2e^ucos v = 2e^u(3sin v - cos v),
então
partial wpartial u = 2e^u(3sin v - cos v),e^usin v ;+;-2e^usin v,e^ucos v ;+;8e^u,e^u
Simplificando e^ucdot e^u = e^2u:
partial wpartial u = 2e^2ul(3sin v,sin v - cos v,sin vr) -2e^2usin v,cos v +8e^2u,
partial wpartial u = e^2ul(6sin^2 v - 2sin vcos v -2sin vcos v +8r),
partial wpartial u = e^2ul(6sin^2 v -4sin vcos v +8r)

Passo 4

Agora a regra da cadeia para partial w/partial v:
partial wpartial v = fx,xv + fy,yv + fz,zv
Substituindo:
fx = 6x - 2y, xv = e^ucos v; fy = -2x, yv = -,e^usin v; fz = 8z, zv = 0
Logo
partial wpartial v = (6x - 2y),e^ucos v + (-2x),(-,e^usin v) + 8zcdot 0
Substituindo x=e^usin v, y=e^ucos v:
6x - 2y = 6e^usin v -2e^ucos v = 2e^u(3sin v - cos v),
então
partial wpartial v = 2e^u(3sin v - cos v),e^ucos v +2e^usin v,e^usin v
Simplificando e^ucdot e^u = e^2u:
partial wpartial v = 2e^2ul(3sin v,cos v - cos^2 v + sin^2 vr),
partial wpartial v = 2e^2ul(sin^2 v - cos^2 v +3sin v,cos vr)

Resposta

partial wpartial u = e^2ul(6sin^2 v -4sin vcos v +8r), partial wpartial v = 2e^2ul(sin^2 v - cos^2 v +3sin v,cos vr)

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