Calcule partial zpartial x(x, y) e partial zpartial y(x, y) para
z dada implicitamente por e^x y z=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

A equação nos diz que z está definida implicitamente por
e^x y z = x^2 + y^2 + z^2
O objetivo é encontrar as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. Vamos usar a técnica de diferenciação implícita em funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y,z) = e^x y z - x^2 - y^2 - z^2
Como F(x,y,z)=0, pela diferenciação implícita temos
Fx + Fz cdot partial zpartial x = 0, Fy + Fz cdot partial zpartial y = 0
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partial zpartial x = -FxFz, partial zpartial y = -FyFz

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial xe^x y z - 2x = e^x y z cdot (y z) - 2x,
Fy = partialpartial ye^x y z - 2y = e^x y z cdot (x z) - 2y,
Fz = partialpartial ze^x y z - 2z = e^x y z cdot (x y) - 2z

Passo 4

Substituindo em partial zpartial x = -Fx/Fz e partial zpartial y = -Fy/Fz, obtemos as expressões finais para as derivadas parciais de z.

Resposta

partial zpartial x(x,y) = -e^x y z,y z - 2xe^x y z,x y - 2z
partial zpartial y(x,y) = -e^x y z,x z - 2ye^x y z,x y - 2z

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