Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
f(x)=e^-x^5 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma forma de aproximar funções usando polinômios, expandindo a função em torno de . Para isso, vamos usar a fórmula da série de Maclaurin para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para a função exponencial e^u = sumn=0^infty u^nn! . A fórmula geral é:
Aqui, é qualquer expressão que esteja dentro da exponencial. No nosso caso, . Então, vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo e^-x^5/3 = sumn=0^infty (-x^53)^nn! na série de Maclaurin, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Elevando (-x^53)^n = (-1)^n x^5n3^n à potência e^-x^5/3 = sumn=0^infty (-1)^n x^5n3^n n! , obtemos:
Substituindo de volta na série:

Resposta

A série de Maclaurin para e^-x^5/3 = sumn=0^infty (-1)^n x^5n3^n , n! é:

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