Lembre-se que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos, respectivamente, por sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2. Determine a série de Taylor centrada em x=a de sinh x e cosh x
Calculando diretamente as derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor centrada em da função calculando diretamente as derivadas. Isso envolve conceitos de séries de Taylor e derivadas de funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções e como montar a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma maneira de aproximar uma função usando uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n . A fórmula geral da série de Taylor de uma função centrada em é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos identificar a função que queremos expandir. Temos:
f(x) = sinh(x) cdot e cdot cosh(x)
Podemos simplificar isso para:
f(x) = e cdot sinh(x) cdot cosh(x)
Lembrando que é uma constante, podemos mantê-lo fora das derivadas.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de f'(x) = e cdot ddx [sinh(x) cdot cosh(x)] em relação a f'(x) = e cdot [cosh(x) cdot cosh(x) + sinh(x) cdot sinh(x)] . Vamos começar calculando a primeira derivada.
Primeira derivada:
f'(x) = e cdot [2 cosh^2(x) - 1]
Usando a regra do produto:
Sabemos que , então:

Passo 5

Para simplificar a análise das derivadas, vamos observar que f(x) = e cdot 12 sinh(2x) = e2 sinh(2x) pode ser escrito como . Portanto:
Isso simplifica o processo de diferenciação, já que agora temos apenas uma função hiperbólica multiplicada por uma constante.

Passo 6

A série de Taylor de sinh(2x) = sumn=0^infty (2)^n(2n+1)! (x - a)^2n+1 centrada em f(x) = e2 sumn=0^infty 2^n(2n+1)! (x - a)^2n+1 é:
Multiplicando pela constante , temos:

Resposta

A série de Taylor centrada em sinh(x) cdot e cdot cosh(x) = e2 sumn=0^infty 2^n(2n+1)! (x - a)^2n+1 de é:

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