Lembre-se que o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos, respectivamente, por
e
. Determine a série de Taylor centrada em
de
Calculando diretamente as derivadas.
Calculando diretamente as derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a série de Taylor centrada em
da função
calculando diretamente as derivadas. Isso envolve conceitos de séries de Taylor e derivadas de funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções e como montar a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela é uma maneira de aproximar uma função usando uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é
. A fórmula geral da série de Taylor de uma função
centrada em
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos identificar a função que queremos expandir. Temos:
Podemos simplificar isso para:
Lembrando que
é uma constante, podemos mantê-lo fora das derivadas.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
. Vamos começar calculando a primeira derivada.
Primeira derivada:
Usando a regra do produto:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para simplificar a análise das derivadas, vamos observar que
pode ser escrito como
. Portanto:
Isso simplifica o processo de diferenciação, já que agora temos apenas uma função hiperbólica multiplicada por uma constante.
Passo 6
A série de Taylor de
centrada em
é:
Multiplicando pela constante
, temos:
Resposta
A série de Taylor centrada em
de
é: