Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.
para r=|(x, y)|, f(x, y)=cce^1r^2-1 & se r<1 0 & se r >= 1

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=e{\frac{1}{r2-1}} se r=|(x,y)|<1 e f(x,y)=0 se r>=1. Precisamos verificar continuidade em três regiões: interior do disco r<1, exterior r>1 e na fronteira r=1.

Passo 2

Para r<1 temos f como composição de funções contínuas: $ (x,y)\mapsto r=\sqrt{x2+y2} $ é contínua, (x,y)mapsto r=raizx^2+y^2 também, rmapsto r^2-1 é contínua para tmapsto1/t (aqui tneq0 nunca é zero) e a exponencial é contínua. Logo f é contínua em todo ponto com r^2-1<0.

Passo 3

Para r>1 a função é constante igual a zero em uma vizinhança desses pontos, então f é contínua em todo ponto com r>1.

Passo 4

Na fronteira r=1 temos f(x,y)=0. Ao aproximar de dentro do disco, rto1^- implica r^2-1to0^-, logo 1/(r^2-1)to-infty e e^1/(r^2-1)to0. Vindo de fora, f é sempre zero. Assim o limite bidirecional em qualquer ponto com r=1 é 0, que coincide com f, e f é contínua na fronteira.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é R^2.

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