Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
.
para
para
Passo 1
A função é dada por f(x,y)=e{\frac{1}{r2-1}} se
e f(x,y)=0 se
. Precisamos verificar continuidade em três regiões: interior do disco
, exterior
e na fronteira
.
Passo 2
Para
temos f como composição de funções contínuas: $ (x,y)\mapsto r=\sqrt{x2+y2} $ é contínua,
também,
é contínua para
(aqui
nunca é zero) e a exponencial é contínua. Logo f é contínua em todo ponto com
.
Passo 3
Para
a função é constante igual a zero em uma vizinhança desses pontos, então f é contínua em todo ponto com
.
Passo 4
Na fronteira
temos f(x,y)=0. Ao aproximar de dentro do disco,
implica
, logo
e
. Vindo de fora, f é sempre zero. Assim o limite bidirecional em qualquer ponto com
é 0, que coincide com f, e f é contínua na fronteira.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de f é
.