Calcule partial zpartial x e partial zpartial y para z=r^3+s+v^2 ; r=x e^y ; s=y e^x ; v=x^2 y

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta: temos z = r³ + s + v², onde r = x eʸ, s = y eˣ e v = x²y. O conteúdo usado aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que
partial z/partial y
e analogamente para .

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a r, s e v: partial z/partial r = 3r^2, partial z/partial s = 1 e partial z/partial v = 2v.
Em seguida calculamos as derivadas de r, s e v em relação a x: partial r/partial x = e^y, partial s/partial x = y e^x e partial v/partial x = 2xy. Substituindo na regra da cadeia obtemos
partial zpartial x=3r^2 e^y + y e^x + 2vcdot2xy
e então, substituindo r = x e^y e v = x^2y, chega-se a
partial zpartial x=3x^2e^3y+y e^x+4x^3y^2 .

Passo 4

Agora, para partial z/partial y, calculamos partial r/partial y = x e^y = r, partial s/partial y = e^x e partial v/partial y = x^2. Substituindo na cadeia:
partial zpartial y=3r^2cdot r + e^x + 2vcdot x^2
que simplifica, ao usar r = x e^y e v = x^2y, para
partial zpartial y=3x^3e^3y+e^x+2x^4y .

Resposta

partial zpartial x=3x^2e^3y+y e^x+4x^3y^2, partial zpartial y=3x^3e^3y+e^x+2x^4y.

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