Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função por partes
f(x)=-x^2-3x-5,&x<= -1,-raiz3-3x^2,&-11,
ainda determinar seu domínio e sua imagem. Vamos usar conceitos de parábola, radiciação e reta.
Passo 2
Analisando o primeiro ramo f1(x)=-x^2-3x-5 para x<= -1:
É uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo).
O vértice está em x=-tfracb2a=-tfrac-32(-1)=-1,5. Substituindo:
f(-1,5)=-(-1,5)^2-3(-1,5)-5=-2,25+4,5-5=-2,75
- Em x=-1 temos f(-1)=-1+3-5=-3.
- Para xto-infty, f(x)to-infty.
Logo o domínio desse ramo é (-infty,-2,75] e sua imagem é .
Passo 3
Analisando o segundo ramo f2(x)=-raiz3-3x^2 para -1:
O radicando exige 3-3x^2>=0 ⇒ |x|<=1, compatível com o intervalo dado.
Geometricamente é a “meia-elipse” inferior de equação x^2+y^2/3=1.
No ponto médio x=0 temos o mínimo:
f(0)=-raiz3=-raiz3approx-1,732
- Em x=1 (incluído) e em xto-1^+ (não incluído) o valor é 0.
- Como é contínua em (-1,1], a imagem desse ramo é [-raiz3,0]
Passo 4
Analisando o terceiro ramo f3(x)=5x-4 para x>1:
É uma reta com coeficiente angular 5.
Em xto1^+ aproxima-se de 5cdot1-4=1, sem incluir o ponto (1,1).
Para xto+infty, f(x)to+infty.
Logo o domínio é (1,infty) e a imagem é (1,infty).
Passo 5
Para esboçar o gráfico junte os três ramos:
No ramo 1, desenhe a parábola voltada para baixo em x<=-1, com vértice em (-1,5,-2,75) e passando por (-1,-3).
No ramo 2, desenhe a meia-elipse (ou semicírculo “esticado”) abaixo do eixo, de x=-1 (ponto aberto em 0,0) até x=1 (ponto fechado em 1,0), mínimo em (0,-raiz3).
No ramo 3, desenhe a reta partindo de x=1 com valor aproximado 1 (ponto aberto) e indo para cima rapidamente.
Passo 6
Unindo tudo, o domínio de f é a união dos três domínios:
(-infty,-1]cup(-1,1]cup(1,infty)=R
A imagem de f é a união das três imagens: (-infty,-2,75]cup[-raiz3,0]cup(1,infty)
Resposta
Domínio: R.
Imagem: ( -infty,-2,75 ],cup,[-raiz3,0],cup,(1,infty).