Seja
. Encontre o valor de
tal que
Passo 1
O enunciado dá que
tem distribuição normal com média
e variância
, isto é
. Pede-se encontrar
tal que
Informações relevantes: a média é
e a variância é
(logo o desvio padrão é
). A probabilidade pedida é a cauda superior com área
.
Passo 2
Entendendo o que o problema pede (intuição):
significa que
é o quantil que deixa
da distribuição acima de
e, portanto,
abaixo de
. Em outras palavras,
Isso transforma o problema em encontrar o
-percentil da normal dada.
Passo 3
Padronização (motivo e fórmula): para trabalhar com tabelas ou funções da normal padrão, usamos a transformação linear
onde
segue a normal padrão
. Aqui
é a média de
e
é o desvio padrão. Padronizar significa expressar
em termos de quantos desvios-padrão ele está da média.
Passo 4
Aplicando a padronização ao nosso quantil
: gostaríamos de escrever a condição
em termos de
. Usando
obtemos
Assim o valor
é o quantil
da normal padrão (o número tal que
).
Passo 5
Valor do quantil da normal padrão: da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística sabemos o valor aproximado do quantil correspondente a
. Esse valor é comumente aproximado por
(Se quiser mais precisão,
, mas em provas costuma-se usar
.)
Passo 6
Resolver a equação para
: temos
Multiplicando por
e somando
obtemos
Passo 7
Cálculo numérico final (mostrando as contas passo a passo): primeiro o produto
Agora somamos à média:
Passo 8
Verificação rápida (checagem): padronizando
obtemos
e de fato
, então a conta está coerente.