Seja \boldsymbol{X} \sim \boldsymbol{N}(5 ; 4). Encontre o valor de k tal que
P(\mathbf{X}>\mathbf{k})=0,05

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição normal com média 5 e variância 4, isto é X\sim N(5;4). Pede-se encontrar k tal que
P(X>k)=0,05.
Informações relevantes: a média é \mu=5 e a variância é \sigma^{2}=4 (logo o desvio padrão é \sigma=2). A probabilidade pedida é a cauda superior com área 0,05.

Passo 2

Entendendo o que o problema pede (intuição): P(X>k)=0,05 significa que k é o quantil que deixa 5\% da distribuição acima de k e, portanto, 95\% abaixo de k. Em outras palavras,
P(X\le k)=1-0,05=0,95.
Isso transforma o problema em encontrar o 95\%-percentil da normal dada.

Passo 3

Padronização (motivo e fórmula): para trabalhar com tabelas ou funções da normal padrão, usamos a transformação linear
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z segue a normal padrão Z\sim N(0;1). Aqui \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão. Padronizar significa expressar X em termos de quantos desvios-padrão ele está da média.

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso quantil k: gostaríamos de escrever a condição P(X\le k)=0,95 em termos de Z. Usando Z=(X-5)/2 obtemos
P\!\left(Z\le \frac{k-5}{2}\right)=0,95.
Assim o valor \dfrac{k-5}{2} é o quantil z_{0,95} da normal padrão (o número tal que P(Z\le z_{0,95})=0,95).

Passo 5

Valor do quantil da normal padrão: da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística sabemos o valor aproximado do quantil correspondente a 0,95. Esse valor é comumente aproximado por
z_{0,95}\approx 1,645.
(Se quiser mais precisão, z_{0,95}\approx 1,64485, mas em provas costuma-se usar 1,645.)

Passo 6

Resolver a equação para k: temos
\frac{k-5}{2}=z_{0,95}\approx 1,645.
Multiplicando por 2 e somando 5 obtemos
k = 5 + 2\cdot 1,645.

Passo 7

Cálculo numérico final (mostrando as contas passo a passo): primeiro o produto
2\cdot 1,645 = 3,290.
Agora somamos à média:
k = 5 + 3,290 = 8,290.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): padronizando k obtemos
\frac{k-5}{2}=\frac{8,290-5}{2}=\frac{3,290}{2}=1,645,
e de fato P(Z>1,645)\approx 0,05, então a conta está coerente.

Resposta

k=8,290

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