Considere as funçōes f(x)=36+x^{3}-3 x^{2}-12 x e g(x)=19-4 x
Determine a área da superficie de revolução obtida pelo giro de g em torno do eixo y. que 2 \leq x \leq 4
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: \;f(x)=36+x^{3}-3 x^{2}-12 x\; e \;g(x)=19-4 x.
Intervalo considerado para a curva g: \;2 \leq x \leq 4.
Pergunta: determinar a área da superfície obtida ao girar a curva y=g(x) em torno do eixo y para x variando de 2 até 4.
Passo 2
Qual é a ideia para calcular a área de superfície de revolução (explicação didática e a fórmula que vamos usar).
Imagine um pequeno pedaço da curva entre x e x+dx. Esse trecho tem comprimento aproximado (elemento de arco)
ds=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx,
onde \;y'(x) é a derivada de y em relação a x. Aqui \;y=g(x).
Ao girar esse pequeno trecho em torno do eixo y ele descreve uma “faixa” cuja área lateral aproximada é a circunferência de raio igual à distância do ponto ao eixo y multiplicada pelo comprimento do trecho: \;dS=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot ds.
Para um ponto (x,y) a distância ao eixo y é simplesmente x (pois o eixo y é a reta x=0). Como no nosso intervalo x vai de 2 a 4, sempre temos x>0.
Substituindo ds temos a fórmula usada (aqui está a fórmula e o que cada coisa significa):
S = 2\pi \int_{a}^{b} x\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx,
onde \;[a,b]=[2,4], \;y(x)=g(x), e \;y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Essa fórmula surge da soma (integração) das pequenas áreas dS ao longo do intervalo.
Passo 3
Calcular a derivada de g e simplificar o integrando.
Temos
g(x)=19-4x \quad\Rightarrow\quad g'(x)=-4.
Logo
1+\bigl(g'(x)\bigr)^{2}=1+(-4)^{2}=1+16=17,
e portanto
\sqrt{1+\bigl(g'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{17},
que é constante (ótimo — facilita a integral). O integrando fica
2\pi\,x\sqrt{17}.
Passo 4
Montar e calcular a integral. Usando a fórmula,
S = 2\pi\int_{2}^{4} x\sqrt{17}\,dx.
Como \sqrt{17} e 2\pi são constantes, podemos tirar fora da integral:
Breve verificação e comentário final (ânimo!).
Fizemos tudo de forma direta porque g'(x) é constante, o que tornou a raiz \sqrt{1+(g')^{2}} constante e a integral simples. Como x no intervalo é positivo, a interpretação do raio =x está correta. Resultado final em forma exata: \;12\pi\sqrt{17}. Se quiser, dá para aproximar numericamente com uma calculadora (por volta de 155{,}5), mas a forma exata é melhor para provas.