Calcule o que se pede
Transformada de Laplace de g(t)=\delta(t-1)+2 \delta(t-3).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,g(t)=\delta(t-1)+2\delta(t-3)\,.
Informações dadas: há dois impulsos de Dirac — um em t=1 com coeficiente 1 e outro em t=3 com coeficiente 2. A tarefa é calcular \mathcal{L}\{g(t)\}(s), a transformada de Laplace dessa combinação de deltas.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace para uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa (ou real) da transformada e o integral é tomado em t de 0 a \infty. Essa definição é a base do que vamos usar.

Passo 3

Agora preciso de uma propriedade fundamental do impulso de Dirac (propriedade de seleção ou “sifting”): para uma função contínua h(t) e um ponto a\ge 0,
\int_{0}^{\infty} h(t)\,\delta(t-a)\,dt = h(a),
porque o delta “pega” o valor da função no ponto onde está localizado, desde que esse ponto esteja dentro do intervalo de integração. Vou usar isso com h(t)=e^{-st}.

Passo 4

Aplicando a definição da transformada de Laplace a g(t) e usando linearidade (a transformada de soma é soma das transformadas, constantes saem do integral):
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(\delta(t-1)+2\delta(t-3)\big)\,dt.
Sepando os termos:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\delta(t-1)\,dt + 2\int_{0}^{\infty} e^{-st}\delta(t-3)\,dt.

Passo 5

Agora uso a propriedade de seleção do delta em cada integral. Para o primeiro termo, com a=1:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\delta(t-1)\,dt = e^{-s\cdot 1}=e^{-s}.
Para o segundo termo, com a=3:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\delta(t-3)\,dt = e^{-s\cdot 3}=e^{-3s}.
Multiplicando por 2 no segundo termo conforme estava fora do integral, obtemos 2e^{-3s}.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=e^{-s}+2e^{-3s}.
Observação rápida: como os deltas são localizados em tempos finitos, essa expressão vale para todos os s (ou seja, a transformada existe para todos os s complexos), então não precisamos impor uma restrição extra em \Re(s) aqui.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=e^{-s}+2e^{-3s}

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