Calcule o que se pede
Transformada de Laplace de
.
Transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: há dois impulsos de Dirac — um em com coeficiente
e outro em
com coeficiente
. A tarefa é calcular
, a transformada de Laplace dessa combinação de deltas.
Informações dadas: há dois impulsos de Dirac — um em
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace para uma função
:
Aqui
é a variável complexa (ou real) da transformada e o integral é tomado em
de
a
. Essa definição é a base do que vamos usar.
Passo 3
Agora preciso de uma propriedade fundamental do impulso de Dirac (propriedade de seleção ou “sifting”): para uma função contínua
e um ponto
,
porque o delta “pega” o valor da função no ponto onde está localizado, desde que esse ponto esteja dentro do intervalo de integração. Vou usar isso com
.
Passo 4
Aplicando a definição da transformada de Laplace a
e usando linearidade (a transformada de soma é soma das transformadas, constantes saem do integral):
Sepando os termos:
Passo 5
Agora uso a propriedade de seleção do delta em cada integral. Para o primeiro termo, com
:
Para o segundo termo, com
:
Multiplicando por
no segundo termo conforme estava fora do integral, obtemos
.
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos:
Observação rápida: como os deltas são localizados em tempos finitos, essa expressão vale para todos os
(ou seja, a transformada existe para todos os
complexos), então não precisamos impor uma restrição extra em
aqui.