Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.
(a) 2 \sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2 \sqrt{2}+2,(2,1)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.”
Informações dadas:
2\sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2\sqrt{2}+2,
ponto indicado (2,1).

Passo 2

O que vamos fazer (resumido): a reta tangente tem inclinação igual à derivada y'(x) da curva no ponto dado. Como a equação relaciona x e y sem isolar y, o jeito mais direto é usar diferenciação implícita para obter y' em função de x e y, e depois avaliar em (2,1). Escolhi diferenciação implícita porque é a forma usual e mais simples quando y aparece misturada com x.

Passo 3

Lembrete didático: derivada de \sqrt{u(x)} pela regra da cadeia. Escrevemos \sqrt{u}=u^{1/2}. Aplicando potência + cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{u(x)}\big)=\frac{d}{dx}\big(u(x)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. No nosso caso quando u=x temos \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Quando u=y(x) (isto é, y é função de x) temos \frac{d}{dx}\sqrt{y}=\frac{y'}{2\sqrt{y}}, porque u'(x)=y'.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados de
2\sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2\sqrt{2}+2
em relação a x:
  • derivada de 2\sqrt{x} é 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}},
  • derivada de \sqrt{y} é \frac{y'}{2\sqrt{y}} pela regra da cadeia (pois y depende de x),
  • derivada de y é y',
  • derivada do lado direito (constante) é 0.
Logo obtemos a equação diferencial
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y'}{2\sqrt{y}}+y' = 0.

Passo 5

Isolando y': somamos termos com y'
\frac{1}{\sqrt{x}} + y'\!\left(1+\frac{1}{2\sqrt{y}}\right)=0.
Passando o termo \dfrac{1}{\sqrt{x}} para o outro lado e dividindo:
y' = -\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{\,1+\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\,}.
Essa é a expressão geral da derivada implícita em termos de x e y.

Passo 6

Avaliaremos y' no ponto (2,1). Primeiro calculemos os valores:
\sqrt{x}\Big|_{(2,1)}=\sqrt{2},\qquad \sqrt{y}\Big|_{(2,1)}=1.
Substituindo na fórmula:
y'(2)= -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{1}{2\cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\tfrac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{2}{3\sqrt{2}}.
Podemos simplificar racionalizando: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2},
-\frac{2}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto é m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Equação da reta tangente: usamos a fórmula ponto-inclinação
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0)=(2,1) e m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}. Substituindo:
y-1 = -\frac{\sqrt{2}}{3}\,(x-2).
Podemos escrever na forma y=mx+b. Expandindo:
y-1 = -\frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{2\sqrt{2}}{3},
portanto
y = -\frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 = -\frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{2\sqrt{2}+3}{3}.

Resposta

y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}x+\dfrac{2\sqrt{2}+3}{3}

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