Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.
(a) 2 \sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2 \sqrt{2}+2,(2,1)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto indicado.”
Informações dadas:
2\sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2\sqrt{2}+2,
ponto indicado (2,1).
Passo 2
O que vamos fazer (resumido): a reta tangente tem inclinação igual à derivada y'(x) da curva no ponto dado. Como a equação relaciona x e y sem isolar y, o jeito mais direto é usar diferenciação implícita para obter y' em função de x e y, e depois avaliar em (2,1). Escolhi diferenciação implícita porque é a forma usual e mais simples quando y aparece misturada com x.
Passo 3
Lembrete didático: derivada de \sqrt{u(x)} pela regra da cadeia. Escrevemos \sqrt{u}=u^{1/2}. Aplicando potência + cadeia:
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. No nosso caso quando u=x temos \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Quando u=y(x) (isto é, y é função de x) temos \frac{d}{dx}\sqrt{y}=\frac{y'}{2\sqrt{y}}, porque u'(x)=y'.
Passo 4
Diferenciando ambos os lados de
2\sqrt{x}+\sqrt{y}+y=2\sqrt{2}+2
em relação a x:
derivada de 2\sqrt{x} é 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}},
derivada de \sqrt{y} é \frac{y'}{2\sqrt{y}} pela regra da cadeia (pois y depende de x),