Calcule o que se pede
Transformada de Laplace de
.
Transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é multiplicada pela função degrau deslocada
(que é igual a
para
e igual a
para
).
Pergunta: calcular , isto é, encontrar a expressão em termos de
.
Informações dadas: a função é
Pergunta: calcular
Passo 2
Lembrete da definição: a transformada de Laplace de uma função
é
desde que a integral converja. Aplicando a definição a
obtemos
Como
para
e
para
, a integral começa efetivamente em
. Portanto
Passo 3
Faço a mudança de variável
. Então
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Substituindo:
Separe a constante
:
Ou seja, apareceu o fator
multiplicando a transformada de
.
Passo 4
Interpretação prática (útil para prova): se uma função tem a forma
com
, então sua transformada é
vezes a transformada de
. Aqui
e
. Portanto basta calcular
.
Passo 5
Calcular
. Vou fazer integração por partes duas vezes de maneira explícita e cuidadosa. Primeiro, defina
Faça integração por partes: escolha
(então
) e
(então
). Assim
O termo de fronteira vale zero (porque
quando
para
, e em
é zero). Assim
onde defini
.
Passo 6
Agora calcule
por partes: escolha
(
) e
(
). Então
O termo de fronteira vale
. Portanto
Passo 7
Substitua
em
:
Multiplique ambos os lados por
e reorganize:
Logo
válido para
(condição necessária para as integrais improprias convergirem).
Passo 8
Voltando ao resultado do Passo 3, a transformada procurada é
Portanto o resultado final é
, com região de convergência
.