Calcule o que se pede
Transformada de Laplace de f(t)=\sin (t-3) u_{3}(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=\sin(t-3)\,u_{3}(t).
Informações dadas: a função é \sin(t-3) multiplicada pela função degrau deslocada u_{3}(t) (que é igual a 0 para t<3 e igual a 1 para t\ge 3).
Pergunta: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é, encontrar a expressão em termos de s.

Passo 2

Lembrete da definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
desde que a integral converja. Aplicando a definição a f(t)=\sin(t-3)\,u_{3}(t) obtemos
\mathcal{L}\{\sin(t-3)u_{3}(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(t-3)\,u_{3}(t)\,dt.
Como u_{3}(t)=0 para 0\le t<3 e u_{3}(t)=1 para t\ge 3, a integral começa efetivamente em t=3. Portanto
\mathcal{L}\{\sin(t-3)u_{3}(t)\}(s)=\int_{3}^{\infty} e^{-st}\sin(t-3)\,dt.

Passo 3

Faço a mudança de variável \tau=t-3. Então t=\tau+3, dt=d\tau. Quando t vai de 3 a \infty, \tau vai de 0 a \infty. Substituindo:
\mathcal{L}\{\sin(t-3)u_{3}(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau+3)}\sin(\tau)\,d\tau.
Separe a constante e^{-3s}:
\mathcal{L}\{\sin(t-3)u_{3}(t)\}(s)=e^{-3s}\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau}\sin(\tau)\,d\tau.
Ou seja, apareceu o fator e^{-3s} multiplicando a transformada de \sin t.

Passo 4

Interpretação prática (útil para prova): se uma função tem a forma g(t-a)u(t-a) com a>0, então sua transformada é e^{-as} vezes a transformada de g(t). Aqui g(\tau)=\sin\tau e a=3. Portanto basta calcular \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin t\,dt.

Passo 5

Calcular I(s)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt. Vou fazer integração por partes duas vezes de maneira explícita e cuidadosa. Primeiro, defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt.
Faça integração por partes: escolha u=\sin t (então du=\cos t\,dt) e dv=e^{-st}dt (então v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Assim
I(s)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin t\right]_{0}^{\infty}+\dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
O termo de fronteira vale zero (porque e^{-st}\sin t\to 0 quando t\to\infty para s>0, e em t=0 é zero). Assim
I(s)=\dfrac{1}{s}J(s),
onde defini J(s)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.

Passo 6

Agora calcule J(s) por partes: escolha u=\cos t ( du=-\sin t\,dt) e dv=e^{-st}dt ( v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Então
J(s)=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos t\right]_{0}^{\infty}-\dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt.
O termo de fronteira vale 0-(-\dfrac{1}{s}\cdot 1)=\dfrac{1}{s}. Portanto
J(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s}I(s).

Passo 7

Substitua J(s) em I(s)=\dfrac{1}{s}J(s):
I(s)=\dfrac{1}{s}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s}I(s)\right).
Multiplique ambos os lados por s e reorganize:
I(s)=\dfrac{1}{s^{2}}-\dfrac{1}{s^{2}}I(s) \quad\Rightarrow\quad I(s)\left(1+\dfrac{1}{s^{2}}\right)=\dfrac{1}{s^{2}}.
Logo
I(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1},
válido para s>0 (condição necessária para as integrais improprias convergirem).

Passo 8

Voltando ao resultado do Passo 3, a transformada procurada é
\mathcal{L}\{\sin(t-3)u_{3}(t)\}(s)=e^{-3s}\,I(s)=e^{-3s}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+1}.
Portanto o resultado final é \dfrac{e^{-3s}}{s^{2}+1}, com região de convergência s>0.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-3s}}{s^{2}+1},\quad s>0

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