Questão 1: É sabido que laranjas podem ser expostas a temperaturas de congelamento por curtos períodos de tempo, sem sofrer sérios danos. Como um caso representativo, considere uma laranja, com diâmetro de
, originalmente a uma temperatura uniforme de
, exposta repentinamente a um ambiente a
. Para um coeficiente convectivo igual a
, determine o tempo necessário apara a superficie da laranja atingir
As propriedades da laranja são:
As propriedades da laranja são:
Passo 1
O que o problema pede: determinar o tempo necessário para que a superfície da laranja atinja
, dado que inicialmente a laranja tem temperatura uniforme
e é subitamente exposta a um ambiente a
com coeficiente convectivo
.
Informações dadas (vou listar exatamente os números do enunciado):
Observação: convertendo
para unidades SI usadas nas contas,
Passo 2
Verificar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped-capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
- primeiro o comprimento característico para uma esfera é
. Para uma esfera:
- então
Agora substituímos os números (vou colocar os passos numéricos):
Critério prático: se
o modelo lumped-capacitance é considerado válido. Aqui
, logo podemos tratar a laranja como tendo temperatura espacialmente uniforme ao longo do tempo (a temperatura da superfície segue a temperatura interna).
Passo 3
Apresentar e deduzir a equação do modelo lumped-capacitance (a “aula” curta sobre o método):
- Ideia física: a taxa de perda de energia por convecção na superfície é igual à taxa de redução da energia interna do corpo.
- Balanço energético:
Tomando sinais corretamente para resfriamento,
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Separando e integrando obtemos a solução exponencial clássica:
Explicando as variáveis:
-
é a temperatura do corpo em tempo , -
é a temperatura do fluido ambiente ( ), -
é a temperatura inicial ( ), -
é o coeficiente convectivo, -
é a área superficial da esfera, -
e são densidade e capacidade térmica massiva, -
é o volume da esfera.
Passo 4
Aplicar a condição pedida: queremos o instante
tal que
. Primeiro calculamos a razão adimensional de temperatura (chamada
):
Com os valores dados:
portanto
Pela solução exponencial,
Tomando logaritmo:
Para simplificar a conta podemos usar a relação
(já mencionada), então
Assim
Passo 5
Substituir valores numéricos e calcular passo a passo:
Calcular:
Então
Portanto
Convertendo para minutos:
Passo 6
Pequena verificação e interpretação: o número de Biot pequeno confirmou a hipótese de temperatura uniforme; o resultado indica que leva cerca de três mil segundos (≈46 minutos) para a superfície chegar a
nas condições dadas — faz sentido físico: a laranja tem boa condutividade e a convecção não é extremamente forte, então o resfriamento é relativamente lento. Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir esse raciocínio na prova.