Questão 1: É sabido que laranjas podem ser expostas a temperaturas de congelamento por curtos períodos de tempo, sem sofrer sérios danos. Como um caso representativo, considere uma laranja, com diâmetro de 0,1 \mathrm{~m}, originalmente a uma temperatura uniforme de 5^{\circ} \mathrm{C}, exposta repentinamente a um ambiente a -5^{\circ} \mathrm{C}. Para um coeficiente convectivo igual a 15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), determine o tempo necessário apara a superficie da laranja atingir 0^{\circ} \mathrm{C}
As propriedades da laranja são:
\begin{aligned} & k=5,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) \\\ & \rho=940 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{\wedge} 3 \\\ & C_{p}=3,8 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}) \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede: determinar o tempo necessário para que a superfície da laranja atinja 0^\circ\mathrm{C}, dado que inicialmente a laranja tem temperatura uniforme 5^\circ\mathrm{C} e é subitamente exposta a um ambiente a -5^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Informações dadas (vou listar exatamente os números do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro} = 0{,}1\\ \mathrm{m} \\\ &\text{logo raio } r = 0{,}05\\ \mathrm{m} \\\ &T_i = 5^\circ\mathrm{C} \\\ &T_\infty = -5^\circ\mathrm{C} \\\ &h = 15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \\\ &k = 5{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \\\ &\rho = 940\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &C_p = 3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. \end{aligned}â
Observação: convertendo C_p para unidades SI usadas nas contas,
C_p = 3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 3800\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

Verificar se podemos usar o modelo de capacidade concentrada (lumped-capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
  • primeiro o comprimento característico para uma esfera é L_c = V/A. Para uma esfera:
V = \tfrac{4}{3}\pi r^3,\qquad A = 4\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad L_c=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}.
  • então
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{h (r/3)}{k}.
Agora substituímos os números (vou colocar os passos numéricos):
L_c=\frac{0{,}05}{3}=0{,}0166667\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{15\cdot 0{,}0166667}{5{,}5}\approx 0{,}0455.
Critério prático: se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo lumped-capacitance é considerado válido. Aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}0455<0{,}1, logo podemos tratar a laranja como tendo temperatura espacialmente uniforme ao longo do tempo (a temperatura da superfície segue a temperatura interna).

Passo 3

Apresentar e deduzir a equação do modelo lumped-capacitance (a “aula” curta sobre o método):
  • Ideia física: a taxa de perda de energia por convecção na superfície é igual à taxa de redução da energia interna do corpo.
  • Balanço energético:
\text{(taxa de perda)} = h A (T(t)-T_\infty)
\text{(taxa de variação de energia interna)} = \rho V C_p \frac{dT}{dt}.çã
Tomando sinais corretamente para resfriamento,
-\;hA\bigl(T(t)-T_\infty\bigr)=\rho V C_p \frac{dT}{dt}.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Separando e integrando obtemos a solução exponencial clássica:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\Bigr).
Explicando as variáveis:
  • T(t) é a temperatura do corpo em tempo t,
  • T_\infty é a temperatura do fluido ambiente ( -5^\circ\mathrm{C}),
  • T_i é a temperatura inicial ( 5^\circ\mathrm{C}),
  • h é o coeficiente convectivo,
  • A é a área superficial da esfera,
  • \rho e C_p são densidade e capacidade térmica massiva,
  • V é o volume da esfera.

Passo 4

Aplicar a condição pedida: queremos o instante t tal que T(t)=0^\circ\mathrm{C}. Primeiro calculamos a razão adimensional de temperatura (chamada \theta):
\theta=\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
Com os valores dados:
T_i-T_\infty = 5 - (-5) = 10\\ ^\circ\mathrm{C},
T(t)-T_\infty = 0 - (-5)=5\\ ^\circ\mathrm{C},
portanto
\theta = \frac{5}{10} = 0{,}5.
Pela solução exponencial,
\theta = \exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\Bigr) \quad\Rightarrow\quad \exp\!\Bigl(-\frac{hA}{\rho V C_p}\,t\Bigr)=0{,}5.
Tomando logaritmo:
t=\frac{\ln(2)}{hA/(\rho V C_p)}.
Para simplificar a conta podemos usar a relação A/V=3/r (já mencionada), então
\frac{hA}{\rho V C_p}=\frac{3h}{\rho C_p r}.
Assim
t=\frac{\ln(2)}{3h/(\rho C_p r)}=\frac{\rho C_p r}{3h}\,\ln(2).

Passo 5

Substituir valores numéricos e calcular passo a passo:
\rho C_p r = 940\cdot 3800\cdot 0{,}05.
Calcular:
940\cdot 3800 = 3\,572\,000,
3\,572\,000\cdot 0{,}05 = 178\,600.
Então
\frac{3h}{\rho C_p r}=\frac{3\cdot 15}{178\,600}=\frac{45}{178\,600}\approx 0{,}0002519\\ \mathrm{s^{-1}}.
Portanto
t=\frac{\ln(2)}{0{,}0002519}\approx \frac{0{,}693147}{0{,}0002519}\approx 2\,749{,}4\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
2\,749{,}4\\ \mathrm{s}\div 60 \approx 45{,}8\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Pequena verificação e interpretação: o número de Biot pequeno confirmou a hipótese de temperatura uniforme; o resultado indica que leva cerca de três mil segundos (≈46 minutos) para a superfície chegar a 0^\circ\mathrm{C} nas condições dadas — faz sentido físico: a laranja tem boa condutividade e a convecção não é extremamente forte, então o resfriamento é relativamente lento. Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir esse raciocínio na prova.

Resposta

t \approx 2{,}75\times 10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 45{,}8\\ \mathrm{min}

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