NOME \_\_\_\_ Endwes Patrick D. Braziling DATA12/11/25
1-\mathrm{Um} tubo de 60 mm de diâmetro externo e 2 m de cumprimento, transporta um fluido a 280^{\circ} \mathrm{C}. Para facilitar a troca de calor com o ar ambiente foi sugerido o aleitamento do tubo, com aletas retangulares longitudinais ou com aletas transversais circulares. Em ambos os casos foi sugerido, 8 mm de espessura e 22 mm de altura, montadas com um espaçamento de 10 mm . O tubo e as aletas de aço têm coeficiente de condutibilidade térmica igual a 35 \mathrm{Kcal} / \mathrm{hm}{ }^{\circ} \mathrm{C}. O ar ambiente possui coeficiente de pelicula 20 \mathrm{Kcal} / \mathrm{hm} 2^{\circ} \mathrm{C}, e está a 30^{\circ} \mathrm{C}. Desprezando a resistência da película interna, pede-se: Qual dos tipos de aletas deverá ser utilizado para lograr a maior troca de calor com o ambiente? Justifique sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha entre dois tipos de aletas para aumentar a troca de calor de um tubo: aletas retangulares longitudinais (ao longo do tubo) ou aletas transversais circulares (anéis). É necessário justificar a escolha, ou seja, decidir qual das duas dá maior troca de calor com o ambiente. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • diâmetro externo do tubo: \,D=60\\ \mathrm{mm}=0{,}06\\ \mathrm{m}\n
  • comprimento do tubo: \,L_{\text{tubo}}=2{,}0\\ \mathrm{m}\n
  • temperatura da superfície do tubo (base das aletas): \,T_s=280^\circ\mathrm{C}\n
  • temperatura do ar: \,T_\infty=30^\circ\mathrm{C}\n
  • aletas: espessura \,t=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m}, altura (extensão radial) \,h=22\\ \mathrm{mm}=0{,}022\\ \mathrm{m}, espaçamento axial ou circumferencial \,e=10\\ \mathrm{mm}=0{,}010\\ \mathrm{m}\n
  • condutividade térmica das aletas (aço): \,k=35\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C})\n
  • coeficiente de convecção do ar: \,h=20\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C})\n
  • despreza-se a resistência interna do filme (ou seja, a temperatura da superfície do tubo é T_s uniforme)\n

Passo 2

Como vamos comparar duas configurações geométricas diferentes, o método é calcular a transferência de calor total (por unidade de comprimento do tubo e depois para os 2\\ \mathrm{m}) em cada caso, levando em conta:
  • a área de troca adicionada pelas aletas e a área de tubo descoberta entre as aletas;
  • a eficiência das aletas (porque finitas e com perda de temperatura ao longo delas).
    Vou usar a teoria clássica de aletas: para uma aleta delgada e longa (retangular), a solução dá um parâmetro m e a eficiência \eta=\dfrac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c}, onde L_c é o comprimento efetivo da aleta (corrigido para a ponta). Para anéis (aletas transversais) vou fazer uma aproximação razoável (discutida abaixo) que permite comparar eficientemente as áreas efetivas e aplicar uma eficiência aproximada. Essa é uma escolha prática: geometria muito diferente, mas os comprimentos de condução nas aletas são curtos (mantém eficiência alta), então comparar área efetiva corrigida pela eficiência é suficiente para decidir.

Passo 3

Calcular quantas aletas cabem em cada caso (usar arredondamento físico quando necessário, e trabalhar por metro para facilidade):
  • comprimento circumferencial do tubo: \pi D=\pi\cdot0{,}06\\ \mathrm{m}=0{,}1884956\\ \mathrm{m}.\n
  • passo circumferencial (espessura + folga) t+e=0{,}008+0{,}010=0{,}018\\ \mathrm{m}.\n
  • número de aletas longitudinais ao redor do tubo (aprox.): \displaystyle N_{\text{long}}=\left\lfloor\frac{\pi D}{t+e}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{0{,}1884956}{0{,}018}\right\rfloor=10 aletas (uso 10 aletas inteiras).\n
  • no caso de aletas anelares (transversais), o número de anéis por metro é \displaystyle n_{\text{anéis}}=\frac{1}{t+e}=\frac{1}{0{,}018}=55{,}555\\ \text{anéis por metro}éé. Em 2\\ \mathrm{m} teremos aproximadamente 111 anéis (é coerente com o enunciado).

Passo 4

Análise da aleta retangular longitudinal (cada aleta é uma placa delgada que se estende radialmente por h e corre ao longo do tubo):
  • modelo para placa delgada com espessura t (condução na espessura) e convecção nas duas faces: definimos seção transversal por unidade de comprimento axial (profundidade 1 m). A área de seção para condução é A_c=t\cdot 1 e o perímetro convectivo por unidade de comprimento é P=2\cdot 1 (duas faces). Assim
A_c = t=0{,}008\\ \mathrm{m}^2,\qquad P=2\\ \mathrm{m}.
  • parâmetro da aleta:
m=\sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}}=\sqrt{\frac{20\cdot 2}{35\cdot 0{,}008}}=\sqrt{\frac{40}{0{,}28}}=\sqrt{142{,}857}\approx 11{,}96\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • comprimento efetivo (correção da ponta): L_c=h+\dfrac{t}{2}=0{,}022+0{,}004=0{,}026\\ \mathrm{m}. Então
mL_c=11{,}96\cdot 0{,}026\approx 0{,}311.
  • eficiência da aleta (fórmula clássica para aleta de comprimento finito com convecção na ponta aproximada):
\eta_{\text{long}}=\frac{\operatorname{tanh}(mL_c)}{mL_c}=\frac{\operatorname{tanh}(0{,}311)}{0{,}311}\approx\frac{0{,}301}{0{,}311}\approx 0{,}968.
Comentário didático: essa fórmula vem da solução da equação diferencial unidimensional da temperatura ao longo da aleta; \eta dá a razão entre o calor efetivamente transferido pela aleta e o calor que seria transferido se toda a aleta estivesse à temperatura da base. Valores próximos de 1 significam aletas muito eficientes (pequenas perdas internas).

Passo 5

Calcular o calor por aleta longitudinal por unidade de comprimento axial:
  • uma expressão direta (obtida da solução analítica) dá o fluxo por unidade de profundidade:
q'_f=\sqrt{hPkA_c}\, (T_s-T_\infty)\,\operatorname{tanh}(mL_c).
Substituindo:
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{20\cdot 2\cdot 35\cdot 0{,}008}=\sqrt{11{,}2}\approx 3{,}3466.
q'_{f} = 3{,}3466\cdot (280-30)\cdot \operatorname{tanh}(0{,}311)=3{,}3466\cdot 250\cdot 0{,}301\approx 251{,}9\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m})\\ \text{por aleta}.
  • com N_{\text{long}}=10 aletas, contribuição das aletas por metro:
q'_{\text{aletas,long}}=10\cdot 251{,}9\approx 2\,519\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).
  • área do tubo descoberta por metro (entre aletas): espaço total descoberto = \pi D - N_{\text{long}} t. Então área descoberta por metro:
A'_{\text{desc}}=\pi D - N_{\text{long}}t=0{,}1884956-10\cdot 0{,}008=0{,}1084956\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.
  • calor pelo tubo descoberto por metro:
q'_{\text{desc}}=h\,A'_{\text{desc}}\,(T_s-T_\infty)=20\cdot 0{,}1084956\cdot 250\approx 542{,}5\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).
  • somando, calor total por metro (configuração longitudinal):
q'_{\text{total,long}}=2\,519+542{,}5\approx 3\,061{,}5\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).
Para o tubo inteiro de 2\\ \mathrm{m}: q_{\text{total,long}}=2\cdot 3\,061{,}5\approx 6\,123\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.

Passo 6

Análise da aleta anelar (transversal, em forma de anel):
  • geometria radial: raio interno r_1=D/2=0{,}03\\ \mathrm{m}, raio externo r_2=r_1+h=0{,}03+0{,}022=0{,}052\\ \mathrm{m}.
  • área das duas faces (superior e inferior) de um anel:
A_{\text{faces}}=2\pi (r_2^2-r_1^2)=2\pi(0{,}052^2-0{,}03^2)=2\pi\cdot 0{,}001804\approx 0{,}011337\\ \mathrm{m}^2.
  • área das bordas cilíndricas (pequenas mas somadas): borda externa 2\pi r_2 t e borda interna 2\pi r_1 t:
A_{\text{bordas}}=2\pi r_2 t+2\pi r_1 t=2\pi t(r_2+r_1)=2\pi\cdot 0{,}008\cdot(0{,}052+0{,}03)\approx 0{,}004121\\ \mathrm{m}^2.
  • área total por anel:
A_{\text{anél}}=A_{\text{faces}}+A_{\text{bordas}}\approx 0{,}011337+0{,}004121=0{,}015458\\ \mathrm{m}^2\\ \text{por anel}.é
  • número de anéis por metro: n_{\text{anéis}}=55{,}555é. Portanto área de aletas por metro:
A'_{\text{aletas,anéis}}=A_{\text{anél}}\cdot n_{\text{anéis}}\approx 0{,}015458\cdot 55{,}555\approx 0{,}8599\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.ééé
  • área de tubo descoberta por metro (entre anéis): fração axial descoberta =1-n_{\text{anéis}}\cdot t=1-55{,}555\cdot 0{,}008=0{,}5556é. Logo
A'_{\text{desc,anéis}}=\pi D\cdot 0{,}5556\approx 0{,}1884956\cdot 0{,}5556\approx 0{,}10472\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.é
  • área total exposta por metro (aletas + tubo descoberto):
A'_{\text{total,anéis}}=0{,}8599+0{,}10472\approx 0{,}96462\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.é

Passo 7

Eficiência das aletas anelares (aproximação justificativa):
  • a condução na aleta anelar é radial, mas o comprimento radial \,h=0{,}022\\ \mathrm{m} é pequeno e a espessura axial é a mesma t, então a ordem de grandeza do parâmetro mL fica próxima da aleta retangular calculada antes. Para uma estimativa prática e conservadora posso usar a mesma eficiência obtida para aleta longitudinal (já que mL foi pequeno), isto é \eta_{\text{anéis}}\approx 0{,}968é. Essa aproximação é comum quando o comprimento de condução é pequeno: a perda interna é pequena e a eficiência fica alta; uma análise mais exata envolveria funções de Bessel, mas não muda a conclusão qualitativa aqui porque as áreas diferem bastante.
  • área efetiva corrigida por eficiência (aletas + superfície descoberta):
A'_{\text{efetiva,anéis}}=A'_{\text{aletas,anéis}}\cdot\eta_{\text{anéis}}+A'_{\text{desc,anéis}} \approx 0{,}8599\cdot 0{,}968 + 0{,}10472 \approx 0{,}93709\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}.éééé
  • calor por metro (anéis):
q'_{\text{total,anéis}}=h\cdot A'_{\text{efetiva,anéis}}\cdot (T_s-T_\infty) =20\cdot 0{,}93709\cdot 250 \approx 4\,685{,}45\\ \mathrm{Kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}).éé
  • para 2\\ \mathrm{m}:
q_{\text{total,anéis}}=2\cdot 4\,685{,}45\approx 9\,370{,}9\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.é

Passo 8

Comparação numérica e conclusão final (explicação física curta):
  • configuração longitudinal: q_{\text{total,long}}\approx 6\,123\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.\n
  • configuração anelar (transversal): q_{\text{total,anéis}}\approx 9\,371\\ \mathrm{Kcal}/\mathrm{h}.é\n
    A configuração com anéis transversais fornece muito mais calor (aprox. +53\%) do que as aletas longitudinais. Por que isso acontece (justificativa física didática e prática)?
  • as aletas anelares fornecem uma área de superfície convectiva por metro muito maior (a cerca de 0{,}9646\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}) comparada às aletas longitudinais (cerca de 0{,}5485\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{m}), e as eficiências das aletas em ambos os casos são altas (ambas ~ 0{,}97) porque as aletas são curtas e delgadas; portanto o ganho efetivo vem principalmente da maior área oferecida pelos anéis.\n
  • em resumo: os anéis aproveitam melhor o espaço axial para multiplicar a área, enquanto as aletas longitudinais, com o espaçamento dado, não somam área suficiente para bater os anéis.

Resposta

Aletas transversais circulares (anéis).

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