Calcule:
Perímetro de uma pétala da rosácea:
.
Perímetro de uma pétala da rosácea:
Passo 1
O enunciado pede o perímetro de uma pétala da rosácea dada em coordenadas polares por
O conteúdo envolvido é o comprimento de curva em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
onde
e
delimitam uma pétala. Como
em
, esse intervalo descreve uma pétala.
Passo 2
Calculemos
e o integrando:
Então
Logo
Passo 3
O comprimento de uma pétala é
Fazendo a troca de variável
,
, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Então
usando a simetria de
a
.
Passo 4
Dentro do integral em
fatoramos
:
Portanto
onde
é a integral elíptica completa de segunda espécie.
Passo 5
Substituindo em
:
Resposta
onde
é a integral elíptica completa de segunda espécie.