Calcule:
Perímetro de uma pétala da rosácea: r=a sen(5 theta), a>0.

Passo 1

O enunciado pede o perímetro de uma pétala da rosácea dada em coordenadas polares por
r = a sen(5theta), a>0
O conteúdo envolvido é o comprimento de curva em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
s=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta,
onde theta1 e theta2 delimitam uma pétala. Como sen(5theta)>=0 em 0<=theta<=pi/5, esse intervalo descreve uma pétala.

Passo 2

Calculemos r' e o integrando:
r(theta)=asen(5theta), r'(theta)=5acos(5theta)
Então
r^2+(r')^2 =a^2l[sen^2(5theta)+25cos^2(5theta)r] =a^2l[25-24sen^2(5theta)r]
Logo
raizr^2+(r')^2 =araiz25-24sen^2(5theta)

Passo 3

O comprimento de uma pétala é
s=integral0^pi/5araiz25-24sen^2(5theta),dtheta
Fazendo a troca de variável phi=5theta, dtheta=dphi/5, quando theta vai de 0 a pi/5, phi vai de 0 a pi. Então
s =a5integral0^piraiz25-24sen^2phi,dphi =2a5integral0^pi/2raiz25-24sen^2phi,dphi,
usando a simetria de 0 a pi.

Passo 4

Dentro do integral em [0,pi/2] fatoramos 25:
raiz25-24sen^2phi =5raiz1-2425sen^2phi =5raiz1-k^2sen^2phi, k^2=2425
Portanto
integral0^pi/2raiz25-24sen^2phi,dphi =5integral0^pi/2raiz1-k^2sen^2phi,dphi =5,E(k),
onde E(k) é a integral elíptica completa de segunda espécie.

Passo 5

Substituindo em s:
s =2a5times 5,E(k) =2a,E(k), k=raiz2425=2raiz65

Resposta

Perímetro de uma pétala ;=;2a,E!l(tfrac2raiz65r), íé
onde
E!l(kr) =integral0^pi/2!raiz1-k^2sen^2phi,dphi
é a integral elíptica completa de segunda espécie.

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