Determine a área delimitada pela curva dada.
r=2-2 sen(theta)

Passo 1

O enunciado pede a área delimitada pela curva em coordenadas polares
r = 2 - 2sin(theta)
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula
A = 12 integralalpha^beta r^2 ,dtheta,
onde alpha e beta são os limites que fazem a curva fechar. Aqui usamos alpha=0 e beta=2pi pois o traçado completa uma volta.

Passo 2

Aplicando diretamente a fórmula com os limites de 0 a 2pi, temos
A = 12 integral0^2pi l(2 - 2sin(theta)r)^2 , dtheta

Passo 3

Vamos expandir o quadrado:
l(2 - 2sin(theta)r)^2 = 4l(1 - sin(theta)r)^2 = 4l(1 - 2sin(theta) + sin^2(theta)r)
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A = 12 integral0^2pi 4l(1 - 2sin(theta) + sin^2(theta)r),dtheta = 2 integral0^2pi l(1 - 2sin(theta) + sin^2(theta)r),dtheta

Passo 4

Separamos em três integrais conhecidas:
integral0^2pi1,dtheta = 2pi, integral0^2pisin(theta),dtheta = 0, integral0^2pisin^2(theta),dtheta = integral0^2pi1-cos(2theta)2,dtheta = pi

Passo 5

Substituindo no integral total:
A = 2l(2pi -2cdot0 + pir) = 2cdot3pi = 6pi

Resposta

6pi

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