As medidas do comprimento e da largura de um retângulo são dadas respectivamente pelas expressões: (5 x+15) \mathrm{cm} \mathrm{e}(3 x-18) \mathrm{cm}. Onde x é dado em centímetros. Quais as possíveis medidas inteiras de seu comprimento sendo seu perímetro menor que 130 cm ?

Passo 1

O enunciado dá as medidas do comprimento e da largura de um retângulo por meio de expressões em função de x (em centímetros). Pergunta-se: quais são as possíveis medidas inteiras do comprimento, sabendo que o perímetro é menor que 130\\ \mathrm{cm}. Informações dadas:
\quad - comprimento: 5x+15 cm.
\quad - largura: 3x-18 cm.
\quad - x está em centímetros (valor real, a menos que indicado o contrário).
\quad - condição: perímetro <130\\ \mathrm{cm}.
Observação: para que as medidas sejam válidas como lados de retângulo, cada uma das expressões que dá comprimento e largura deve ser positiva.

Passo 2

Vamos impor a condição de validade geométrica: comprimento e largura devem ser positivos. Escrevemos as desigualdades e resolvemos para x. Para o comprimento:
5x+15>0.
Subtraindo 15 de ambos os lados e dividindo por 5 obtemos
x>-3.
Para a largura:
3x-18>0.
Somando 18 e dividindo por 3 obtemos
x>6.
Como ambas as condições devem valer simultaneamente, a condição de validade é
x>6.

Passo 3

Agora impomos a condição do perímetro. Fórmula do perímetro de um retângulo: P=2(\text{comprimento}+\text{largura}). Substituindo as expressões:
P = 2\big((5x+15)+(3x-18)\big).
Somando dentro dos parênteses:
(5x+15)+(3x-18)=8x-3.
Portanto
P=2(8x-3)=16x-6.
A condição do enunciado é P<130, então resolvemos
16x-6<130.
Somando 6 aos dois lados:
16x<136.
Dividindo por 16:
x<8{,}5.

Passo 4

Juntando as desigualdades obtidas em Passo 2 e Passo 3 temos a faixa permitida para x:
6<x<8{,}5.
Queremos as possíveis medidas inteiras do comprimento L=5x+15. Como x varia continuamente nessa faixa, L também varia continuamente. Calculamos os valores extremos correspondentes a x=6 e x=8{,}5 (observando que as desigualdades são estritas, então os extremos não são alcançados, apenas aproximados):
\text{para }x\to6^+:\quad L=5\cdot 6 +15 =45,
\text{para }x\to 8{,}5^-:\quad L=5\cdot 8{,}5 +15 =57{,}5.
Portanto os valores de L possíveis satisfazem
45 < L < 57{,}5.

Passo 5

Agora identificamos todas as medidas inteiras L contidas no intervalo 45 < L < 57{,}5. Os inteiros estritamente maiores que 45 e estritamente menores que 57{,}5 são
46,\,47,\,48,\,49,\,50,\,51,\,52,\,53,\,54,\,55,\,56,\,57.
Fazemos uma checagem rápida em duas bordas para garantir que essas medidas realmente correspondem a x que deixam a largura positiva e o perímetro menor que 130:
  • Para L=46: x=(46-15)/5=31/5=6{,}2 (que satisfaz 6<x<8{,}5). Largura =3\cdot6{,}2-18=0{,}6>0. Perímetro =2(46+0{,}6)=93{,}2<130. OK.
  • Para L=57: x=(57-15)/5=42/5=8{,}4 (que satisfaz 6<x<8{,}5). Largura =3\cdot8{,}4-18=7{,}2>0. Perímetro =2(57+7{,}2)=128{,}4<130. OK.
Qualquer L\ge 58 corresponderia a x\ge 8{,}6, violando x<8{,}5. L=45 x=6 com largura 0, que não é um lado válido. Logo a lista acima está correta e completa.

Resposta

\{46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57\}

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