As medidas do comprimento e da largura de um retângulo são dadas respectivamente pelas expressões:
. Onde
é dado em centímetros. Quais as possíveis medidas inteiras de seu comprimento sendo seu perímetro menor que 130 cm ?
Passo 1
O enunciado dá as medidas do comprimento e da largura de um retângulo por meio de expressões em função de
(em centímetros). Pergunta-se: quais são as possíveis medidas inteiras do comprimento, sabendo que o perímetro é menor que
. Informações dadas:
- comprimento:
cm.
- largura:
cm.
-
está em centímetros (valor real, a menos que indicado o contrário).
- condição: perímetro
.
Observação: para que as medidas sejam válidas como lados de retângulo, cada uma das expressões que dá comprimento e largura deve ser positiva.
Observação: para que as medidas sejam válidas como lados de retângulo, cada uma das expressões que dá comprimento e largura deve ser positiva.
Passo 2
Vamos impor a condição de validade geométrica: comprimento e largura devem ser positivos. Escrevemos as desigualdades e resolvemos para
. Para o comprimento:
Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
obtemos
Para a largura:
Somando
e dividindo por
obtemos
Como ambas as condições devem valer simultaneamente, a condição de validade é
Passo 3
Agora impomos a condição do perímetro. Fórmula do perímetro de um retângulo:
. Substituindo as expressões:
Somando dentro dos parênteses:
Portanto
A condição do enunciado é
, então resolvemos
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 4
Juntando as desigualdades obtidas em Passo 2 e Passo 3 temos a faixa permitida para
:
Queremos as possíveis medidas inteiras do comprimento
. Como
varia continuamente nessa faixa,
também varia continuamente. Calculamos os valores extremos correspondentes a
e
(observando que as desigualdades são estritas, então os extremos não são alcançados, apenas aproximados):
Portanto os valores de
possíveis satisfazem
Passo 5
Agora identificamos todas as medidas inteiras
contidas no intervalo
. Os inteiros estritamente maiores que
e estritamente menores que
são
Fazemos uma checagem rápida em duas bordas para garantir que essas medidas realmente correspondem a
que deixam a largura positiva e o perímetro menor que
:
- Para
: (que satisfaz ). Largura . Perímetro . OK. - Para
: (que satisfaz ). Largura . Perímetro . OK.
Qualquer
corresponderia a
, violando
.
dá
com largura
, que não é um lado válido. Logo a lista acima está correta e completa.