Dois jovens viveram concomitantemente durante certo tempo na cidade de São Paulo. O primeiro jovem afirmou que mora na cidade a partir do ano indicado na inequação
e o segundo jovem morou na cidade antes do ano indicado na inequação
, onde t é o ano do calendário. Por quantos anos os dois jovens viveram simultaneamente na cidade de São Paulo?
Passo 1
O enunciado pede: “Por quantos anos os dois jovens viveram simultaneamente na cidade de São Paulo?”\n
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
onde
representa o ano do calendário.
Não há outras informações; a tarefa é encontrar o intervalo de anos em que ambos moraram ao mesmo tempo e contar quantos anos isso corresponde.
Não há outras informações; a tarefa é encontrar o intervalo de anos em que ambos moraram ao mesmo tempo e contar quantos anos isso corresponde.
Passo 2
Vamos resolver a inequação do primeiro jovem, passo a passo. Começamos com
Isolando
, somamos
aos dois lados:
Agora dividimos ambos os lados por
. Como estamos dividindo por um número positivo, o sinal da inequação não muda:
Calculando a divisão:
Logo, o conjunto de anos em que o primeiro jovem afirma morar na cidade é
ou seja, todos os anos a partir de
inclusive.
Passo 3
Agora resolvemos a inequação do segundo jovem:
Somamos
aos dois lados:
Dividimos ambos os lados por
. Novamente, como dividimos por um número positivo, o sinal não muda:
Calculando:
Portanto, o conjunto de anos em que o segundo jovem morou na cidade, segundo a inequação, é
ou seja, todos os anos até
inclusive.
Passo 4
Agora vamos encontrar os anos em que ambos estiveram simultaneamente: precisamos da interseção dos dois conjuntos de anos.
Isso significa que os anos em que os dois viveram ao mesmo tempo são todos os anos de
até
, inclusive.
Passo 5
Precisamos contar quantos anos existem no intervalo inteiro e fechado
. Para contar anos inteiros inclusivos entre dois anos
e
com
, usamos a fórmula
Aplicando com
e
:
Calculando:
Um exemplo pequeno para lembrar a fórmula: de
a
há
anos (
), a mesma ideia aqui.
Resposta
21