Dois jovens viveram concomitantemente durante certo tempo na cidade de São Paulo. O primeiro jovem afirmou que mora na cidade a partir do ano indicado na inequação 2 \mathrm{t}-3960 \geq 0 e o segundo jovem morou na cidade antes do ano indicado na inequação 3 t-6000 \leq 0, onde t é o ano do calendário. Por quantos anos os dois jovens viveram simultaneamente na cidade de São Paulo?

Passo 1

O enunciado pede: “Por quantos anos os dois jovens viveram simultaneamente na cidade de São Paulo?”\n
Informações dadas no enunciado:
\text{o primeiro jovem: }2t-3960\geq0
\text{o segundo jovem: }3t-6000\leq0
onde \;t\; representa o ano do calendário.
Não há outras informações; a tarefa é encontrar o intervalo de anos em que ambos moraram ao mesmo tempo e contar quantos anos isso corresponde.

Passo 2

Vamos resolver a inequação do primeiro jovem, passo a passo. Começamos com
2t-3960\geq0.
Isolando t, somamos 3960 aos dois lados:
2t\geq3960.
Agora dividimos ambos os lados por 2. Como estamos dividindo por um número positivo, o sinal da inequação não muda:
t\geq\frac{3960}{2}.
Calculando a divisão:
\frac{3960}{2}=1980.
Logo, o conjunto de anos em que o primeiro jovem afirma morar na cidade é
t\geq1980,
ou seja, todos os anos a partir de \;1980\; inclusive.

Passo 3

Agora resolvemos a inequação do segundo jovem:
3t-6000\leq0.
Somamos 6000 aos dois lados:
3t\leq6000.
Dividimos ambos os lados por 3. Novamente, como dividimos por um número positivo, o sinal não muda:
t\leq\frac{6000}{3}.
Calculando:
\frac{6000}{3}=2000.
Portanto, o conjunto de anos em que o segundo jovem morou na cidade, segundo a inequação, é
t\leq2000,
ou seja, todos os anos até \;2000\; inclusive.

Passo 4

Agora vamos encontrar os anos em que ambos estiveram simultaneamente: precisamos da interseção dos dois conjuntos de anos.
\{t\mid t\geq1980\}\cap\{t\mid t\leq2000\}=\{t\mid 1980\leq t\leq2000\}.
Isso significa que os anos em que os dois viveram ao mesmo tempo são todos os anos de \;1980\; até \;2000\;, inclusive.

Passo 5

Precisamos contar quantos anos existem no intervalo inteiro e fechado \;[1980,2000]\;. Para contar anos inteiros inclusivos entre dois anos a e b com a\leq b, usamos a fórmula
\text{número de anos}=b-a+1.ú
Aplicando com a=1980 e b=2000:
\text{número de anos}=2000-1980+1.ú
Calculando:
2000-1980+1=20+1=21.
Um exemplo pequeno para lembrar a fórmula: de \;2000 a \;2002 2002-2000+1=3 anos ( \;2000,2001,2002), a mesma ideia aqui.

Resposta

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