Q4: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos vetores com a primeira e a última entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{8}.
II. O conjunto dos vetores com a última entrada diferente da terceira é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{8}.
(A) Todas são falsas.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre subconjuntos de \mathbb{R}^{8} e pede para identificar quais são verdadeiras:
  • I. O conjunto dos vetores com a primeira e a última entradas iguais a zero é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{8}.
  • II. O conjunto dos vetores com a última entrada diferente da terceira é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{8}.
Informações relevantes dadas:
  • O universo considerado é \mathbb{R}^{8}.
  • As condições nas afirmativas referem-se a coordenadas específicas dos vetores em \mathbb{R}^{8} (primeira, terceira, última = oitava).
  • A tarefa é decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa, e indicar qual alternativa corresponde.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática do que é ser subespaço):
  • Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{8} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais:
    1. Contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,\dots,0).
    2. É fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
    3. É fechado sob multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in W.
Por que usar essas três? Porque um espaço vetorial precisa ter as operações bem-definidas restringidas ao subconjunto; verificar essas 3 propriedades é uma forma prática e completa de confirmar isso. Na prova, quase sempre é suficiente mostrar essas propriedades; às vezes usa-se uma observação alternativa (por exemplo, mostrar que o conjunto é núcleo de uma transformação linear), mas as três propriedades são a forma mais direta.

Passo 3

Análise da afirmativa I:
  • Defina S=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_8)\in\mathbb{R}^{8}\mid x_1=0\text{ e }x_8=0\}.
  • Verificação das propriedades:
    1. Vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,\dots,0) tem x_1=0 e x_8=0, logo \mathbf{0}\in S.
    2. Fechamento por soma: sejam \mathbf{u}=(0,u_2,\dots,u_7,0)\in S e \mathbf{v}=(0,v_2,\dots,v_7,0)\in S. Então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(0,u_2+v_2,\dots,u_7+v_7,0),cuja primeira e oitava coordenadas continuam sendo 0. Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
    3. Fechamento por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(0,u_2,\dots,u_7,0)\in S. Então \alpha\mathbf{u}=(0,\alpha u_2,\dots,\alpha u_7,0),cuja primeira e oitava coordenadas são 0. Então \alpha\mathbf{u}\in S.
  • Conclusão para I: S satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{8}. Afirmativa I é verdadeira.
(Observação útil para a prova: uma forma alternativa curta é notar que S é o conjunto de vetores cuja primeira e oitava coordenadas são zero, isto é o núcleo da aplicação linear \ell:\mathbb{R}^8\to\mathbb{R}^2 definida por \ell(x_1,\dots,x_8)=(x_1,x_8); como núcleo de transformação linear, S é subespaço. Mas em prova, mostrar as três propriedades é suficiente e direto.)

Passo 4

Análise da afirmativa II:
  • Defina T=\{\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_8)\in\mathbb{R}^{8}\mid x_8\neq x_3\}, ou seja, vértices cuja oitava coordenada é diferente da terceira.
  • Primeiro teste rápido: verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. Para \mathbf{0}=(0,0,\dots,0) temos x_3=0 e x_8=0, portanto x_8 = x_3, ou seja, a condição x_8\neq x_3 falha. Logo \mathbf{0}\notin T.
  • Já que a presença do vetor nulo é obrigatória para subespaço, isso é suficiente para concluir que T não é subespaço.
  • Para reforçar a intuição (e porque às vezes o enunciado pode cobrar mostrar contraexemplo de fechamento), mostro também que T pode falhar em fechamento por soma: considere \mathbf{u}=(0,0,1,0,0,0,0,0), \qquad \mathbf{v}=(0,0,0,0,0,0,0,1).Em \mathbf{u} temos x_3=1 e x_8=0, logo x_8\neq x_3; em \mathbf{v} temos x_3=0 e x_8=1, logo x_8\neq x_3. Assim \mathbf{u},\mathbf{v}\in T. Mas \mathbf{u}+\mathbf{v}=(0,0,1,0,0,0,0,1),e neste vetor x_3=1 e x_8=1, portanto x_8 = x_3, o que implica \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin T. Assim T não é fechado sob adição.
  • Conclusão para II: T não contém o vetor zero e não é fechado sob soma, logo não é subespaço. Afirmativa II é falsa.

Passo 5

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
Interpretação final em relação às alternativas fornecidas: entre as alternativas dadas (A) Todas são falsas, (C) Só II é verdadeira, (D) Todas são verdadeiras, a correta (a partir da análise) é que somente a afirmativa I é verdadeira. Como nenhuma das alternativas listadas corresponde exatamente a “Só I é verdadeira”, a resposta correta ao enunciado matemático é: Só I é verdadeira.

Resposta

Só I é verdadeira.

Exercícios relacionados