Q4: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos vetores com a primeira e a última entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
.
II. O conjunto dos vetores com a última entrada diferente da terceira é um subespaço vetorial do
.
(A) Todas são falsas.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto dos vetores com a primeira e a última entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
II. O conjunto dos vetores com a última entrada diferente da terceira é um subespaço vetorial do
(A) Todas são falsas.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre subconjuntos de
e pede para identificar quais são verdadeiras:
- I. O conjunto dos vetores com a primeira e a última entradas iguais a zero é um subespaço vetorial de
. - II. O conjunto dos vetores com a última entrada diferente da terceira é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes dadas:
- O universo considerado é
. - As condições nas afirmativas referem-se a coordenadas específicas dos vetores em
(primeira, terceira, última = oitava). - A tarefa é decidir, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa, e indicar qual alternativa corresponde.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática do que é ser subespaço):
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades essenciais: - Contém o vetor nulo
. - É fechado sob soma: se
e , então . - É fechado sob multiplicação escalar: se
e , então .
- Contém o vetor nulo
Por que usar essas três? Porque um espaço vetorial precisa ter as operações bem-definidas restringidas ao subconjunto; verificar essas 3 propriedades é uma forma prática e completa de confirmar isso. Na prova, quase sempre é suficiente mostrar essas propriedades; às vezes usa-se uma observação alternativa (por exemplo, mostrar que o conjunto é núcleo de uma transformação linear), mas as três propriedades são a forma mais direta.
Passo 3
Análise da afirmativa I:
- Defina
. - Verificação das propriedades:
- Vetor zero:
tem e , logo . - Fechamento por soma: sejam
e . Então cuja primeira e oitava coordenadas continuam sendo . Logo . - Fechamento por escalar: seja
e . Então cuja primeira e oitava coordenadas são . Então .
- Vetor zero:
- Conclusão para I:
satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço vetorial de . Afirmativa I é verdadeira.
(Observação útil para a prova: uma forma alternativa curta é notar que
é o conjunto de vetores cuja primeira e oitava coordenadas são zero, isto é o núcleo da aplicação linear
definida por
; como núcleo de transformação linear,
é subespaço. Mas em prova, mostrar as três propriedades é suficiente e direto.)
Passo 4
Análise da afirmativa II:
- Defina
, ou seja, vértices cuja oitava coordenada é diferente da terceira. - Primeiro teste rápido: verificar se o vetor zero pertence ao conjunto. Para
temos e , portanto , ou seja, a condição falha. Logo . - Já que a presença do vetor nulo é obrigatória para subespaço, isso é suficiente para concluir que
não é subespaço. - Para reforçar a intuição (e porque às vezes o enunciado pode cobrar mostrar contraexemplo de fechamento), mostro também que
pode falhar em fechamento por soma: considere Em temos e , logo ; em temos e , logo . Assim . Mas e neste vetor e , portanto , o que implica . Assim não é fechado sob adição. - Conclusão para II:
não contém o vetor zero e não é fechado sob soma, logo não é subespaço. Afirmativa II é falsa.
Passo 5
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
Interpretação final em relação às alternativas fornecidas: entre as alternativas dadas (A) Todas são falsas, (C) Só II é verdadeira, (D) Todas são verdadeiras, a correta (a partir da análise) é que somente a afirmativa I é verdadeira. Como nenhuma das alternativas listadas corresponde exatamente a “Só I é verdadeira”, a resposta correta ao enunciado matemático é: Só I é verdadeira.
Resposta
Só I é verdadeira.