1. Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
    c) g(t)=\cos (50 \pi t)+\operatorname{sen}(15 \pi t)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função g(t)=\cos(50\pi t)+\operatorname{sen}(15\pi t): o período fundamental e a frequência fundamental. As informações dadas são:
  • A função é soma de duas funções periódicas: \cos(50\pi t) e \operatorname{sen}(15\pi t).
  • Os argumentos destas funções são 50\pi t e 15\pi t, respectivamente.
    Nada mais foi pedido — vamos calcular o período fundamental (menor T>0 que repete toda a função) e a frequência fundamental (recíproco desse período).

Passo 2

Conceitos importantes (explicados devagar):
  • Uma função x(t) é periódica com período T se x(t+T)=x(t) para todo t. O período fundamental é o menor T>0 com essa propriedade.
  • Para uma função trigonométrica do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t), o período é
T=\frac{2\pi}{\omega},
onde \omega é a frequência angular (em rad/s). Aqui \omega é o número que multiplica t dentro do seno ou cosseno.
  • A frequência (em Hz) é o recíproco do período:
f=\frac{1}{T}.
  • Para a soma de duas funções periódicas com períodos T_1 e T_2, a soma será periódica se existir um T que seja múltiplo inteiro de ambos T_1 e T_2; o período fundamental da soma é o mínimo múltiplo comum (MMC) de T_1 e T_2. Uma forma prática é trabalhar com as frequências f_1=1/T_1, f_2=1/T_2 e tomar a frequência fundamental f_0 como o máximo divisor comum (MDC) de f_1 e f_2 quando estas são racionais; então T_0=1/f_0.

Passo 3

Calcule os períodos individuais usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Para \cos(50\pi t) temos \omega_1=50\pi, logo
T_1=\frac{2\pi}{50\pi}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}.
Para \operatorname{sen}(15\pi t) temos \omega_2=15\pi, logo
T_2=\frac{2\pi}{15\pi}=\frac{2}{15}.
Aqui T_1=\dfrac{1}{25} segundos e T_2=\dfrac{2}{15} segundos.

Passo 4

Passe para frequências (mais conveniente para achar o período comum). Frequência é f=1/T.
f_1=\frac{1}{T_1}=25\quad\text{(Hz)}
f_2=\frac{1}{T_2}=\frac{15}{2}\quad\text{(Hz)}.
Expliquei: f_1=25 significa que \cos(50\pi t) completa 25 ciclos por segundo; f_2=15/2=7,5 ciclos por segundo para o seno.

Passo 5

Método prático para achar a frequência fundamental f_0 quando f_1 e f_2 são racionais:
  • Determine o maior divisor comum (MDC, ou gcd) de f_1 e f_2. Então f_0=\gcd(f_1,f_2).
  • Depois T_0=1/f_0.
    Explicação por que isso funciona: se f_0 divide ambos f_1 e f_2, então existem inteiros n_1,n_2 tais que f_1=n_1 f_0 e f_2=n_2 f_0. Assim ambos os sinais repetem a cada período T_0=1/f_0, e T_0 é o menor com essa propriedade quando f_0 é o maior divisor comum.

Passo 6

Calcule o \gcd de f_1=25 e f_2=15/2. Para evitar decimais, escrevemos ambos com denominador comum 2:
f_1=\frac{50}{2},\qquad f_2=\frac{15}{2}.
Agora o \gcd entre \dfrac{50}{2} e \dfrac{15}{2} é \dfrac{\gcd(50,15)}{2}. Calculando \gcd(50,15): 50=15\cdot3+5, 15=5\cdot3, então \gcd(50,15)=5.
Logo
f_0=\frac{5}{2}=\;2,5\\ \text{Hz}.

Passo 7

Agora o período fundamental é o recíproco de f_0:
T_0=\frac{1}{f_0}=\frac{1}{5/2}=\frac{2}{5}=0,4\\ \text{s}.
Verificação rápida (importante para prova): T_0/T_1=\dfrac{2/5}{1/25}=(2/5)\cdot25=10 (inteiro) e T_0/T_2=\dfrac{2/5}{2/15}=(2/5)\cdot\dfrac{15}{2}=3 (inteiro). Como ambos são inteiros, T_0 é um múltiplo comum; como usamos o \gcd das frequências, é o menor — portanto é o período fundamental.

Passo 8

Conclusões finais e valores em formas fracionária e decimal para uso direto na prova:
  • Período fundamental: T_{\text{fund}}=\dfrac{2}{5}\\ \text{s}=0,4\\ \text{s}.
  • Frequência fundamental: f_{\text{fund}}=\dfrac{5}{2}\\ \text{Hz}=2,5\\ \text{Hz}.

Resposta

T_{\text{fund}}=\dfrac{2}{5}\\ \text{s}=0,4\\ \text{s}\n f_{\text{fund}}=\dfrac{5}{2}\\ \text{Hz}=2,5\\ \text{Hz}

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