- Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
: o período fundamental e a frequência fundamental. As informações dadas são:
- A função é soma de duas funções periódicas:
e . - Os argumentos destas funções são
e , respectivamente.
Nada mais foi pedido — vamos calcular o período fundamental (menorque repete toda a função) e a frequência fundamental (recíproco desse período).
Passo 2
Conceitos importantes (explicados devagar):
- Uma função
é periódica com período se para todo . O período fundamental é o menor com essa propriedade. - Para uma função trigonométrica do tipo
ou , o período é
onde
é a frequência angular (em rad/s). Aqui
é o número que multiplica
dentro do seno ou cosseno.
- A frequência (em Hz) é o recíproco do período:
- Para a soma de duas funções periódicas com períodos
e , a soma será periódica se existir um que seja múltiplo inteiro de ambos e ; o período fundamental da soma é o mínimo múltiplo comum (MMC) de e . Uma forma prática é trabalhar com as frequências , e tomar a frequência fundamental como o máximo divisor comum (MDC) de e quando estas são racionais; então .
Passo 3
Calcule os períodos individuais usando
.
Para temos
, logo
Para
Para
temos
, logo
Aqui
segundos e
segundos.
Passo 4
Passe para frequências (mais conveniente para achar o período comum). Frequência é
.
Expliquei:
significa que
completa 25 ciclos por segundo;
ciclos por segundo para o seno.
Passo 5
Método prático para achar a frequência fundamental
quando
e
são racionais:
- Determine o maior divisor comum (MDC, ou gcd) de
e . Então . - Depois
.
Explicação por que isso funciona: sedivide ambos e , então existem inteiros tais que e . Assim ambos os sinais repetem a cada período , e é o menor com essa propriedade quando é o maior divisor comum.
Passo 6
Calcule o
de
e
. Para evitar decimais, escrevemos ambos com denominador comum
:
Agora o
entre
e
é
. Calculando
:
,
, então
.
Logo
Logo
Passo 7
Agora o período fundamental é o recíproco de
:
Verificação rápida (importante para prova):
(inteiro) e
(inteiro). Como ambos são inteiros,
é um múltiplo comum; como usamos o
das frequências, é o menor — portanto é o período fundamental.
Passo 8
Conclusões finais e valores em formas fracionária e decimal para uso direto na prova:
- Período fundamental:
. - Frequência fundamental:
.