Dimetilglioxima, \mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{8} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{2}, é uma base fraca com \mathrm{K}_{\mathrm{b}}=4,0.10^{-4}. Em que pH essa base e seu ácido conjugado apresentarão idênticas concentrações?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Dado: a dimetilglioxima tem fórmula e é uma base fraca com constante de basicidade \;K_{b}=4,0\times10^{-4}\;.
  • Pergunta: “Em que pH essa base e seu ácido conjugado apresentarão idênticas concentrações?” — ou seja, para qual valor de pH vale [\text{B}]=[\text{BH}^+].
Essas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece.

Passo 2

Entendendo o que significa ter concentrações iguais: seja \text{B} a base e \text{BH}^+ seu ácido conjugado. A reação de ionização do ácido conjugado é
\text{BH}^+ \rightleftharpoons \text{B} + \text{H}^+.
A constante de acidez dessa reação é
K_a=\frac{[\text{B}]\,[\text{H}^+]}{[\text{BH}^+]},
onde cada símbolo significa:
  • [\text{B}] é a concentração molar da base livre;
  • [\text{BH}^+] é a concentração molar do ácido conjugado;
  • [\text{H}^+] é a concentração dos íons hidrogênio;
  • K_a é a constante de acidez do ácido conjugado.

Passo 3

Isolando [\text{H}^+] na expressão de K_a obtemos
[\text{H}^+]=K_a\frac{[\text{BH}^+]}{[\text{B}]}.
Aplicando -\log_{10} em ambos os lados (definição de p para concentracões e constantes) chegamos à forma de Henderson–Hasselbalch para esse par ácido/base:
\text{pH}= \text{p}K_a + \log_{10}\!\left(\frac{[\text{B}]}{[\text{BH}^+]}\right),
onde \text{pH}=-\log_{10}[\text{H}^+] e \text{p}K_a=-\log_{10}K_a.

Passo 4

Se [\text{B}]=[\text{BH}^+], o quociente dentro do logaritmo vale 1, logo \log_{10}(1)=0. Portanto, no ponto em que as concentrações são iguais
\text{pH}=\text{p}K_a.
Então basta calcular \text{p}K_a do ácido conjugado da base.

Passo 5

Relacionando K_a e K_b sabemos que
K_a\cdot K_b=K_w,
onde K_w é o produto iônico da água. A 25^\circ\text{C} usamos \;K_w=1,0\times10^{-14}\;. Assim
K_a=\frac{K_w}{K_b}=\frac{1,0\times10^{-14}}{4,0\times10^{-4}}.
Calculando:
K_a= \frac{1,0}{4,0}\times10^{-14-(-4)}=0,25\times10^{-10}=2,5\times10^{-11}.

Passo 6

Agora calculamos \text{p}K_a:
\text{p}K_a = -\log_{10}\left(2,5\times10^{-11}\right).
Separando o logaritmo:
\text{p}K_a = -\log_{10}(2,5) -\log_{10}\left(10^{-11}\right)= -\log_{10}(2,5) + 11.
Sabendo que \log_{10}(2,5)\approx0,39794, temos
\text{p}K_a \approx -0,39794 + 11 = 10,60206.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais,
\text{pH}\approx 10,60.

Resposta

\text{pH}\approx 10,60

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