Calcule o plano tangente ao elipsóide 2 x^2+3 y^2+z^2=9 no ponto (1,1,2).

Passo 1

Estamos tentando encontrar o plano tangente ao elipsóide dado por 2x^2+3y^2+z^2=9 no ponto (1,1,2). O conteúdo aqui é o cálculo de plano tangente a uma superfície implícita, para o qual vamos usar o gradiente da função que define a superfície e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Definimos a função implícita F(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^2-9. Assim, a superfície é F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F, que nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto: nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr)=(4x,6y,2z).

Passo 4

Avaliamos o gradiente no ponto (1,1,2): nabla F(1,1,2)=(4cdot1,6cdot1,2cdot2)=(4,6,4). Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

A equação do plano tangente a F(x,y,z)=0 em (x0,y0,z0) é dada por
nabla F(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,2) e nabla F(1,1,2)=(4,6,4) obtemos
4(x-1)+6(y-1)+4(z-2)=0
Desenvolvendo e simplificando, chega-se a
2x+3y+2z=9

Resposta

2x+3y+2z=9

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