Dada a equação
e^2 x+3 y+z+6 x y z+(x-1)^2=2
Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y e z.

Passo 1

A equação é uma relação implícita entre x, y e z, dada por e^{2x+3y+z} + 6xyz + (x-1)^2 = 2. O tópico aqui é derivação implícita de funções z = z(x,y), e vamos precisar usar a regra da cadeia para diferenciar termos que envolvem z.

Passo 2

Vamos diferenciar a equação toda em relação a x, lembrando que y é tratado como constante e z = z(x,y). Para o termo exponencial usamos a regra da cadeia, e para 6xyz e (x-1)^2 aplicamos derivadas parciais:
ddxl(e^2x+3y+zr)=e^2x+3y+z(2+partial zpartial x),
ddx(6xyz)=6yz+6xypartial zpartial x,
ddxl((x-1)^2r)=2(x-1)
Somando tudo e igualando a zero fica:
e^2x+3y+z(2+partial zpartial x)+6yz+6xypartial zpartial x+2(x-1)=0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm ∂z/∂x de um lado:
partial zpartial xl(e^2x+3y+z+6xyr)=-2e^2x+3y+z-6yz-2(x-1)

Passo 4

Para ∂z/∂y, diferenciamos a equação original em relação a y, tratando x como constante. Temos:
ddyl(e^2x+3y+zr)=e^2x+3y+z(3+partial zpartial y),
ddy(6xyz)=6xz+6xypartial zpartial y,
ddyl((x-1)^2r)=0
Somando e igualando a zero:
e^2x+3y+z(3+partial zpartial y)+6xz+6xypartial zpartial y=0

Passo 5

Agrupando os termos com ∂z/∂y:
partial zpartial yl(e^2x+3y+z+6xyr)=-3e^2x+3y+z-6xz

Resposta

As derivadas implícitas ficam:
partial zpartial x=-2e^2x+3y+z+6yz+2(x-1)e^2x+3y+z+6xy,
partial zpartial y=-3e^2x+3y+z+6xze^2x+3y+z+6xy

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