Dada a equação
Expresse
em termos de
e
.
Passo 1
A equação é uma relação implícita entre x, y e z, dada por e^{2x+3y+z} + 6xyz + (x-1)^2 = 2. O tópico aqui é derivação implícita de funções z = z(x,y), e vamos precisar usar a regra da cadeia para diferenciar termos que envolvem z.
Passo 2
Vamos diferenciar a equação toda em relação a x, lembrando que y é tratado como constante e z = z(x,y). Para o termo exponencial usamos a regra da cadeia, e para 6xyz e (x-1)^2 aplicamos derivadas parciais:
Somando tudo e igualando a zero fica:
Passo 3
Agora agrupamos os termos que contêm ∂z/∂x de um lado:
Passo 4
Para ∂z/∂y, diferenciamos a equação original em relação a y, tratando x como constante. Temos:
Somando e igualando a zero:
Passo 5
Agrupando os termos com ∂z/∂y:
Resposta
As derivadas implícitas ficam: