Calcule as integrais usando integração por partes.
\int \operatorname{arctg}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx usando integração por partes. Essa técnica se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Precisamos escolher u e dv de forma que du e v fiquem simples de calcular.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{arctg}(2x), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(2x)\bigr]\,dx = \frac{2}{1+4x^2}\,dx, \qquad v = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,\operatorname{arctg}(2x) - \int x\cdot \frac{2}{1+4x^2}\,dx = x\,\operatorname{arctg}(2x) - 2\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx.

Passo 4

Para resolver \displaystyle\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx, fazemos a substituição
t = 1+4x^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{8}.
Logo,
\int \frac{x}{1+4x^2}\,dx = \int \frac{1}{t}\,\frac{dt}{8} = \frac{1}{8}\ln\lvert t\rvert + C = \frac{1}{8}\ln(1+4x^2) + C.

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta:
\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx = x\,\operatorname{arctg}(2x) - 2\cdot\frac{1}{8}\ln(1+4x^2) + C = x\,\operatorname{arctg}(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C.

Resposta

\int \operatorname{arctg}(2x)\,dx = x\,\operatorname{arctg}(2x) - \tfrac{1}{4}\ln\bigl(1+4x^2\bigr) + C.

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