(a) Calcule o polinômio
em
. Use aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento. Calcule o erro relativo percentual.
(b) Repita (a), mas expresse
como
. Calcule o erro e compare com a parte (a).
(b) Repita (a), mas expresse
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, para
:
- (a) Calcular
usando aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação; em seguida calcular o erro relativo percentual (comparando com o valor verdadeiro de ). - (b) Repetir o cálculo quando
é avaliado na forma (forma de Horner), novamente usando 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação; calcular o erro relativo percentual e comparar com (a).
Dados fornecidos:
e o polinômio indicado. Instrução extra: usar truncamento para manter 3 algarismos significativos em cada resultado intermédio.
Passo 2
Antes de calcular, explico rapidamente o que significa “3 algarismos significativos e truncamento” e como vou medir erro:
- Truncamento a 3 algarismos significativos: após qualquer operação numérica, manter apenas os três primeiros dígitos significativos do resultado, descartando (sem arredondar) os restantes. Ex.:
truncado a 3 algarismos significativos é . - Erro relativo percentual: se
é o valor verdadeiro (calculado com precisão maior) e é o aproximado obtido pela aritmética truncada, então o erro relativo percentual é
Vou primeiro obter o valor verdadeiro de
(com precisão normal, para usar na comparação).
Cálculo do valor verdadeiro (sem truncamento):
Passo 3
Agora faço (a) — avaliação direta
— usando aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento em cada passo.
-
Começo com
(já tem 3 algarismos significativos). -
Calcular
:
- Calcular
usando o truncado:
- Calcular
usando truncado:
- Calcular
:
- Somar
usando os valores truncados:
- Somar o termo
:
- Subtrair
:
Passo 4
Calcular o erro relativo percentual da parte (a) comparando com
:
Diferença absoluta:
Erro relativo percentual:
Comentário curto: aqui teve perda enorme de precisão porque na forma expandida as parcelas
são relativamente grandes e de sinais mistos, causando grande cancelamento numérico quando se usa aritmética truncada.
Passo 5
Agora faço (b) — avaliação pela forma de Horner
— de novo com 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação. A ideia (que vou aplicar passo a passo) é reduzir o número de operações e evitar subtrações entre números de ordem semelhante que causam perda de algarismos significativos.
- Calcular
:
- Multiplicar por
:
- Somar
:
- Multiplicar por
novamente:
- Subtrair
:
Passo 6
Calcular o erro relativo percentual da parte (b) comparando com
:
Diferença absoluta:
Erro relativo percentual:
Comentário de comparação: o método de Horner (b) produziu erro muito menor (
) que a avaliação direta (a) (
). Isso acontece porque Horner reduz o número de operações e evita subtrações entre quantidades grandes que geram cancelamento e perda de algarismos significativos quando se usa truncamento.