(a) Calcule o polinômio y=x^{3}-7 x^{2}+8 x-0,35 em x=1,37. Use aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento. Calcule o erro relativo percentual.
(b) Repita (a), mas expresse y como y=((x-7) x+8) x-0,35. Calcule o erro e compare com a parte (a).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, para x=1,37:
  • (a) Calcular y=x^{3}-7 x^{2}+8 x-0,35 usando aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação; em seguida calcular o erro relativo percentual (comparando com o valor verdadeiro de y).
  • (b) Repetir o cálculo quando y é avaliado na forma \displaystyle y=((x-7)x+8)x-0,35 (forma de Horner), novamente usando 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação; calcular o erro relativo percentual e comparar com (a).
Dados fornecidos: x=1,37 e o polinômio indicado. Instrução extra: usar truncamento para manter 3 algarismos significativos em cada resultado intermédio.

Passo 2

Antes de calcular, explico rapidamente o que significa “3 algarismos significativos e truncamento” e como vou medir erro:
  • Truncamento a 3 algarismos significativos: após qualquer operação numérica, manter apenas os três primeiros dígitos significativos do resultado, descartando (sem arredondar) os restantes. Ex.: 1,8769 truncado a 3 algarismos significativos é 1,87.
  • Erro relativo percentual: se y_{\text{verd}} é o valor verdadeiro (calculado com precisão maior) e y_{\text{apx}} é o aproximado obtido pela aritmética truncada, então o erro relativo percentual é
\text{Erro\%} = 100\cdot\frac{|y_{\text{verd}}-y_{\text{apx}}|}{|y_{\text{verd}}|}.
Vou primeiro obter o valor verdadeiro de y (com precisão normal, para usar na comparação).
Cálculo do valor verdadeiro (sem truncamento):
x=1,37
x^{2}=1,37^{2}=1,8769
x^{3}=1,37\cdot1,8769=2,571453
y_{\text{verd}}=2,571453-7\cdot1,8769+8\cdot1,37-0,35
-7\cdot1,8769=-13,1383
8\cdot1,37=10,96
y_{\text{verd}}=2,571453-13,1383+10,96-0,35=0,043153.

Passo 3

Agora faço (a) — avaliação direta y=x^{3}-7 x^{2}+8 x-0,35 — usando aritmética com 3 algarismos significativos e truncamento em cada passo.
  1. Começo com x=1,37 (já tem 3 algarismos significativos).
  2. Calcular x^{2}:
x^{2}=1,37^{2}=1,8769\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }x^{2}\approx1,87.
  1. Calcular x^{3} usando o x^{2} truncado:
x^{3}\approx 1,37\cdot1,87=2,5619\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }x^{3}\approx2,56.
  1. Calcular -7x^{2} usando x^{2} truncado:
-7x^{2}\approx -7\cdot1,87=-13,09\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }-7x^{2}\approx-13,0.
  1. Calcular 8x:
8x=8\cdot1,37=10,96\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }8x\approx10,9.
  1. Somar x^{3}+(-7x^{2}) usando os valores truncados:
2,56 + (-13,0) = -10,44\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }-10,44\approx-10,4.
  1. Somar o termo 8x:
-10,4 + 10,9 = 0,5\quad\Rightarrow\quad \text{representando com 3 sig.\\ figs.: }0,500.
  1. Subtrair 0,35:
0,500 - 0,35 = 0,150\quad\Rightarrow\quad \text{truncando/representando a 3 sig.\\ figs. }y_{\text{(a)}}\approx0,150.

Passo 4

Calcular o erro relativo percentual da parte (a) comparando com y_{\text{verd}}=0,043153:
Diferença absoluta:
|y_{\text{verd}}-y_{\text{(a)}}|=|0,043153-0,150|=0,106847.
Erro relativo percentual:
\text{Erro\%}_{\text{(a)}}=100\cdot\frac{0,106847}{0,043153}\approx247,6\%.
Comentário curto: aqui teve perda enorme de precisão porque na forma expandida as parcelas (x^{3},-7x^{2},8x) são relativamente grandes e de sinais mistos, causando grande cancelamento numérico quando se usa aritmética truncada.

Passo 5

Agora faço (b) — avaliação pela forma de Horner \displaystyle y=((x-7)x+8)x-0,35 — de novo com 3 algarismos significativos e truncamento em cada operação. A ideia (que vou aplicar passo a passo) é reduzir o número de operações e evitar subtrações entre números de ordem semelhante que causam perda de algarismos significativos.
  1. Calcular x-7:
x-7=1,37-7=-5,63\quad(\text{já 3 sig.\\ figs.})á
  1. Multiplicar por x:
(x-7)x\approx -5,63\cdot1,37=-7,7131\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }(x-7)x\approx-7,71.
  1. Somar +8:
-7,71+8=0,29\quad\Rightarrow\quad \text{representando a 3 sig.\\ figs.: }0,290.
  1. Multiplicar por x novamente:
0,290\cdot1,37=0,3973\quad\Rightarrow\quad \text{truncando a 3 sig.\\ figs. }0,397.
  1. Subtrair 0,35:
0,397-0,35=0,047\quad\Rightarrow\quad \text{representando com 3 sig.\\ figs.: }y_{\text{(b)}}\approx0,0470.

Passo 6

Calcular o erro relativo percentual da parte (b) comparando com y_{\text{verd}}=0,043153:
Diferença absoluta:
|y_{\text{verd}}-y_{\text{(b)}}|=|0,043153-0,0470|=0,003847.
Erro relativo percentual:
\text{Erro\%}_{\text{(b)}}=100\cdot\frac{0,003847}{0,043153}\approx8,92\%.
Comentário de comparação: o método de Horner (b) produziu erro muito menor ( \approx8,92\%) que a avaliação direta (a) ( \approx247,6\%). Isso acontece porque Horner reduz o número de operações e evita subtrações entre quantidades grandes que geram cancelamento e perda de algarismos significativos quando se usa truncamento.

Resposta

y_{\text{(a)}}\approx0,150,\\ \text{Erro\%}_{\text{(a)}}\approx247{,}6\%
y_{\text{(b)}}\approx0,0470,\\ \text{Erro\%}_{\text{(b)}}\approx8{,}92\%

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