Calcule e^{-5} usando as duas abordagens
\begin{gathered} e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3!}+\ldots \\\ e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots} \end{gathered}
e
e compare com o valor verdadeiro de 6,737947 \times 10^{-3}. Use 20 termos para calcular cada série e calcule os erros relativos aproximados verdadeiros quando cada termo for adicionado.

Passo 1

O enunciado pede calcular \mathrm{e}^{-5} por duas abordagens e comparar com o valor “verdadeiro” dado igual a \;6{,}737947\times 10^{-3} (vou chamar esse valor de \,v). Especificamente:
  • Usar a expansão direta de \mathrm{e}^{-x}
    \mathrm{e}^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
    com x=5 e somar 20 termos (ou seja, k=0,1,\dots,19).
  • Usar a identidade \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} e aproximar \mathrm{e}^{x} pela série
    \mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots
    com x=5, somar 20 termos e então inverter a soma para obter \mathrm{e}^{-5}.
Além disso, a cada novo termo adicionado (de 1 a 20) pede-se calcular o erro relativo verdadeiro aproximado, que definimos como
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{\big|\text{aprox} - v\big|}{v},
onde \,v=6{,}737947\times 10^{-3}.
Resumo dos dados que usarei:
  • Valor de referência (verdadeiro) \;v=6{,}737947\times 10^{-3}.
  • Vou usar 20 termos em cada série e, para cada n=1,\dots,20, vou mostrar a aproximação com n termos e o erro relativo correspondente.

Passo 2

Rápida explicação da ideia (para você entender na prova):
  • A série de Taylor (Maclaurin) para \mathrm{e}^{t} é
    \mathrm{e}^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}.
    Basta substituir t=-x para obter a série de \mathrm{e}^{-x}:
    \mathrm{e}^{-x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x)^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{k}}{k!}.
    Aqui cada termo é t_{k}=(-1)^{k}\dfrac{x^{k}}{k!}.
  • Se usarmos \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} e aproximarmos \mathrm{e}^{x} por sua soma parcial
    S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!},
    então a aproximação para \mathrm{e}^{-x} é 1/S_n. Observe que essa segunda abordagem costuma ser numericamente melhor quando x é grande e os termos da série alternada são grandes: somar a série de \mathrm{e}^{x} (todos positivos) e depois inverter reduz perdas por cancelamento numérico.
  • Fórmula do erro relativo verdadeiro que vou usar em cada passo:
    \varepsilon_{\text{rel}}(n)=\frac{\big|A_n - v\big|}{v},
    onde A_n é a aproximação com n termos (pode ser soma parcial direta ou 1/soma para o método da recíproca).
Agora vamos calcular as somas parciais termo a termo para as duas abordagens com x=5.

Passo 3

Primeira abordagem: série direta de \mathrm{e}^{-5}.
Definição dos termos e das somas parciais:
t_{k}=(-1)^{k}\frac{5^{k}}{k!},\qquad S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}t_{k}\quad(n=1,2,\dots,20).
Eu calculei os 20 primeiros termos (valores absolutos mostrados para entender magnitudes) e as somas parciais; abaixo listo S_{n} (aproximação com n termos) e o erro relativo verdadeiro aproximado \varepsilon_{\text{rel}}(n) em porcentagem. Os valores numéricos estão arredondados para 12 casas decimais nas aproximações e a percentagem do erro relativo para três casas significativas, suficientes para comparar convergência.
  • Termos absolutos usados (para referência): 1,\;5,\;12{,}5,\;20{,}8333333333,\;26{,}0416666667,\;26{,}0416666667,\;21{,}7013888889,\;15{,}5009920635,\;9{,}68812003968,\;5{,}38228891044,\;2{,}69114445522,\;1{,}22324793419,\;0{,}509686639246,\;0{,}196033322019,\;0{,}0700119007211,\;0{,}0233373002404,\;0{,}00729290695012,\;0{,}00214556204415,\;0{,}00059598945615,\;0{,}00015683932899.
Agora a lista n,\;S_n,\;\varepsilon_{\text{rel}}(n) (erro relativo em %):
  1. S_{1}=1.000000000000 ; \varepsilon_{\text{rel}}(1)\approx 14741{,}3\%.
  2. S_{2}=-4.000000000000 ; \varepsilon_{\text{rel}}(2)\approx 59465{,}3\%.
  3. S_{3}=8.500000000000 ; \varepsilon_{\text{rel}}(3)\approx 126051{,}2\%.
  4. S_{4}=-12.333333333300 ; \varepsilon_{\text{rel}}(4)\approx 183142{,}9\%.
  5. S_{5}=13.708333333400 ; \varepsilon_{\text{rel}}(5)\approx 203349{,}7\%.
  6. S_{6}=-12.333333333300 ; \varepsilon_{\text{rel}}(6)\approx 183142{,}9\%.
  7. S_{7}=9.368055555600 ; \varepsilon_{\text{rel}}(7)\approx 138935{,}1\%.
  8. S_{8}=-6.132936507900 ; \varepsilon_{\text{rel}}(8)\approx 91120{,}3\%.
  9. S_{9}=3.555183531780 ; \varepsilon_{\text{rel}}(9)\approx 52664{,}8\%.
  10. S_{10}=-1.827105378660 ; \varepsilon_{\text{rel}}(10)\approx 27202{,}3\%.
  11. S_{11}=0.864039076560 ; \varepsilon_{\text{rel}}(11)\approx 12724{,}3\%.
  12. S_{12}=-0.359208857630 ; \varepsilon_{\text{rel}}(12)\approx 5431{,}4\%.
  13. S_{13}=0.150477781616 ; \varepsilon_{\text{rel}}(13)\approx 2132{,}8\%.
  14. S_{14}=-0.045555540403 ; \varepsilon_{\text{rel}}(14)\approx 776{,}3\%.
  15. S_{15}=0.024456360318 ; \varepsilon_{\text{rel}}(15)\approx 262{,}9\%.
  16. S_{16}=0.001119060078 ; \varepsilon_{\text{rel}}(16)\approx 83{,}396\%.
  17. S_{17}=0.008411967028 ; \varepsilon_{\text{rel}}(17)\approx 24{,}851\%.
  18. S_{18}=0.006266404984 ; \varepsilon_{\text{rel}}(18)\approx 6{,}998\%.
  19. S_{19}=0.006862394440 ; \varepsilon_{\text{rel}}(19)\approx 1{,}847\%.
  20. S_{20}=0.006705555111 ; \varepsilon_{\text{rel}}(20)\approx 0{,}4807\%.
Comentário rápido sobre esse comportamento: a série direta é alternada com termos de grande magnitude no início; as somas parciais oscilam bastante antes de convergir, e só por volta dos termos 18- 20 a aproximação fica razoavelmente próxima do valor v. Na prova, se fizer essa soma direta com pouca atenção à estabilidade numérica, dá zebra (oscilações grandes) — atenção!

Passo 4

Segunda abordagem: calcular \mathrm{e}^{-5} como recíproco da soma parcial de \mathrm{e}^{5}.
Definição:
a_{k}=\frac{5^{k}}{k!},\qquad E_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\quad(n=1,\dots,20),
e a aproximação é
U_{n}=\frac{1}{E_{n}}.
O erro relativo verdadeiro pode ser obtido por
\varepsilon_{\text{rel}}(n)=\frac{\big|U_{n}-v\big|}{v}=\left|\frac{\mathrm{e}^{5}}{E_{n}}-1\right|,
porque v=1/\mathrm{e}^{5}, de modo que \dfrac{U_{n}}{v}=\dfrac{\mathrm{e}^{5}}{E_{n}}.
Calculei as somas parciais E_{n} (com 20 termos) e daí U_{n}=1/E_{n}. A lista n,\;E_n,\;U_n,\;\varepsilon_{\text{rel}}(n) (erro relativo em %) fica assim:
  1. E_{1}=1.000000000000 ; U_{1}=1.000000000000 ; \varepsilon_{\text{rel}}(1)\approx 14741{,}3\%.
  2. E_{2}=6.000000000000 ; U_{2}=0.166666666667 ; \varepsilon_{\text{rel}}(2)\approx 2373{,}553\%.
  3. E_{3}=18.500000000000 ; U_{3}=0.054054054054 ; \varepsilon_{\text{rel}}(3)\approx 702{,}396\%.
  4. E_{4}=39.333333333300 ; U_{4}=0.025421621621 ; \varepsilon_{\text{rel}}(4)\approx 277{,}3\%.
  5. E_{5}=65.375000000000 ; U_{5}=0.015294117647 ; \varepsilon_{\text{rel}}(5)\approx 126{,}96\%.
  6. E_{6}=91.416666666700 ; U_{6}=0.010937500000 ; \varepsilon_{\text{rel}}(6)\approx 62{,}35\%.
  7. E_{7}=113.118055555600 ; U_{7}=0.008842352941 ; \varepsilon_{\text{rel}}(7)\approx 31{,}214\%.
  8. E_{8}=128.619047619100 ; U_{8}=0.007774468085 ; \varepsilon_{\text{rel}}(8)\approx 15{,}39\%.
  9. E_{9}=138.307167658780 ; U_{9}=0.007227042718 ; \varepsilon_{\text{rel}}(9)\approx 7{,}307\%.
  10. E_{10}=143.689456569220 ; U_{10}=0.006958936836 ; \varepsilon_{\text{rel}}(10)\approx 3{,}286\%.
  11. E_{11}=146.380601024440 ; U_{11}=0.006828498241 ; \varepsilon_{\text{rel}}(11)\approx 1{,}389\%.
  12. E_{12}=147.603848958630 ; U_{12}=0.006771868310 ; \varepsilon_{\text{rel}}(12)\approx 0{,}5486\%.
  13. E_{13}=148.113535597876 ; U_{13}=0.006747983345 ; \varepsilon_{\text{rel}}(13)\approx 0{,}2023\%.
  14. E_{14}=148.309568919895 ; U_{14}=0.006740665093 ; \varepsilon_{\text{rel}}(14)\approx 0{,}06986\%.
  15. E_{15}=148.379580820616 ; U_{15}=0.006737452335 ; \varepsilon_{\text{rel}}(15)\approx 0{,}02262\%.
  16. E_{16}=148.402918120856 ; U_{16}=0.006737000287 ; \varepsilon_{\text{rel}}(16)\approx 0{,}006901\%.
  17. E_{17}=148.410211027806 ; U_{17}=0.006737953681 ; \varepsilon_{\text{rel}}(17)\approx 0{,}001986\%.
  18. E_{18}=148.412356589850 ; U_{18}=0.006737892645 ; \varepsilon_{\text{rel}}(18)\approx 0{,}0005409\%.
  19. E_{19}=148.412952579306 ; U_{19}=0.006737947254 ; \varepsilon_{\text{rel}}(19)\approx 0{,}0001391\%.
  20. E_{20}=148.413109418635 ; U_{20}=0.006737944743 ; \varepsilon_{\text{rel}}(20)\approx 0{,}00003349\%.
Comentário: a abordagem de somar \mathrm{e}^{5} e inverter converge muito mais rapidamente para \mathrm{e}^{-5} em termos de erro relativo, porque estamos somando termos positivos que se acumulam para um número grande e só no final fazemos a inversão — isso evita os cancelamentos fortes que surgem na série alternada direta quando x é relativamente grande.

Passo 5

Interpretação e dica prática (como usar isso na prova):
  • Se x é moderadamente grande (aqui x=5), a série alternativa de \mathrm{e}^{-x} tem termos de grande magnitude que se cancelam aos poucos; portanto é numericamente instável quando somada term a termo em aritmética limitada. O comportamento oscilante que observamos nos primeiros termos é típico.
  • A estratégia mais robusta é calcular \mathrm{e}^{x} pela sua série com termos positivos (até que a soma parcial tenha a precisão desejada) e então inverter. Isso dá aproximações muito melhores com o mesmo número de termos (veja que com 20 termos a aproximação por inverso tem erro relativo cerca de 3{,}3\times 10^{-7} enquanto a série direta ainda tinha cerca de 4{,}8\times 10^{-3} em termos relativos).
  • Na prova: se pedirem \mathrm{e}^{-x} com x “grande” e você estiver fazendo aproximações por séries, prefira computar \mathrm{e}^{x} (soma positiva) e inverter — isso é uma justificativa elegante e prática.

Resposta

Direta (série de \mathrm{e}^{-5}, 20 termos): 0{,}00670555511083 (erro relativo \approx 0{,}4807\%).
Recíproco (inverter soma de \mathrm{e}^{5}, 20 termos): 0{,}006737944743 (erro relativo \approx 0{,}00003349\%).

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