e
e compare com o valor verdadeiro de 6,737947 \times 10^{-3}. Use 20 termos para calcular cada série e calcule os erros relativos aproximados verdadeiros quando cada termo for adicionado.
Passo 1
O enunciado pede calcular \mathrm{e}^{-5} por duas abordagens e comparar com o valor “verdadeiro” dado igual a \;6{,}737947\times 10^{-3} (vou chamar esse valor de \,v). Especificamente:
Aqui cada termo é t_{k}=(-1)^{k}\dfrac{x^{k}}{k!}.
Se usarmos \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} e aproximarmos \mathrm{e}^{x} por sua soma parcial
S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{k!},
então a aproximação para \mathrm{e}^{-x} é 1/S_n. Observe que essa segunda abordagem costuma ser numericamente melhor quando x é grande e os termos da série alternada são grandes: somar a série de \mathrm{e}^{x} (todos positivos) e depois inverter reduz perdas por cancelamento numérico.
Fórmula do erro relativo verdadeiro que vou usar em cada passo:
Eu calculei os 20 primeiros termos (valores absolutos mostrados para entender magnitudes) e as somas parciais; abaixo listo S_{n} (aproximação com n termos) e o erro relativo verdadeiro aproximado \varepsilon_{\text{rel}}(n) em porcentagem. Os valores numéricos estão arredondados para 12 casas decimais nas aproximações e a percentagem do erro relativo para três casas significativas, suficientes para comparar convergência.
Comentário rápido sobre esse comportamento: a série direta é alternada com termos de grande magnitude no início; as somas parciais oscilam bastante antes de convergir, e só por volta dos termos 18-20 a aproximação fica razoavelmente próxima do valor v. Na prova, se fizer essa soma direta com pouca atenção à estabilidade numérica, dá zebra (oscilações grandes) — atenção!
Passo 4
Segunda abordagem: calcular \mathrm{e}^{-5} como recíproco da soma parcial de \mathrm{e}^{5}.
porque v=1/\mathrm{e}^{5}, de modo que \dfrac{U_{n}}{v}=\dfrac{\mathrm{e}^{5}}{E_{n}}.
Calculei as somas parciais E_{n} (com 20 termos) e daí U_{n}=1/E_{n}. A lista n,\;E_n,\;U_n,\;\varepsilon_{\text{rel}}(n) (erro relativo em %) fica assim:
Comentário: a abordagem de somar \mathrm{e}^{5} e inverter converge muito mais rapidamente para \mathrm{e}^{-5} em termos de erro relativo, porque estamos somando termos positivos que se acumulam para um número grande e só no final fazemos a inversão — isso evita os cancelamentos fortes que surgem na série alternada direta quando x é relativamente grande.
Passo 5
Interpretação e dica prática (como usar isso na prova):
Se x é moderadamente grande (aqui x=5), a série alternativa de \mathrm{e}^{-x} tem termos de grande magnitude que se cancelam aos poucos; portanto é numericamente instável quando somada term a termo em aritmética limitada. O comportamento oscilante que observamos nos primeiros termos é típico.
A estratégia mais robusta é calcular \mathrm{e}^{x} pela sua série com termos positivos (até que a soma parcial tenha a precisão desejada) e então inverter. Isso dá aproximações muito melhores com o mesmo número de termos (veja que com 20 termos a aproximação por inverso tem erro relativo cerca de 3{,}3\times 10^{-7} enquanto a série direta ainda tinha cerca de 4{,}8\times 10^{-3} em termos relativos).
Na prova: se pedirem \mathrm{e}^{-x} com x “grande” e você estiver fazendo aproximações por séries, prefira computar \mathrm{e}^{x} (soma positiva) e inverter — isso é uma justificativa elegante e prática.