Calcule o polinômio característico de cada matriz:
\begin{aligned}\mathbf{A} & =\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\\ 0 & -1\end{array}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz \mathbf{A} abaixo. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição que vamos usar (sem pressa): o polinômio característico de uma matriz \mathbf{A} é
p_{\mathbf{A}}(\lambda)=\det\big(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\big),
onde \lambda é a variável do polinômio e \mathbf{I} é a matriz identidade da mesma ordem que \mathbf{A}. Aqui \lambda representa um número (possivelmente complexo) e subtrair \lambda\mathbf{I} de \mathbf{A} significa subtrair \lambda dos elementos da diagonal de \mathbf{A}.

Passo 3

Vamos escrever \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}. A matriz identidade 2\times 2 é \mathbf{I}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Então
\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Precisamos do determinante de uma matriz 2\times2. Lembrete básico e importante: para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
temos
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Também vale notar uma fórmula geral para o polinômio característico de um 2\times2 com entradas a,d na diagonal:
p(\lambda)=\det\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Se expandirmos, obtemos a forma canônica
p(\lambda)=\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc),
onde a+d é a soma das entradas da diagonal (traço) e ad-bc é o determinante da matriz original.]

Passo 5

Agora aplicamos isso ao nosso caso, com a=1, b=2, c=0 e d=-1. Usando a forma direta do determinante:
p_{\mathbf{A}}(\lambda)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-1-\lambda)-2\cdot 0.]

Passo 6

Calcule passo a passo a expressão obtida. Primeiro note que 2\cdot 0=0, então
p_{\mathbf{A}}(\lambda)=(1-\lambda)(-1-\lambda).
Expandindo com cuidado:
(1-\lambda)(-1-\lambda)= -\big(1-\lambda\big)\big(1+\lambda\big).
Podemos também multiplicar direto:
(1-\lambda)(-1-\lambda) = -1 -\lambda +\lambda +\lambda^{2} = -1+\lambda^{2}.
Portanto
p_{\mathbf{A}}(\lambda)=\lambda^{2}-1.
Fatorizando (útil para identificar raízes/eigenvalores),
p_{\mathbf{A}}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1),
o que mostra que as raízes são \lambda=1 e \lambda=-1 (coisa natural aqui, porque \mathbf{A} é triangular e os elementos da diagonal são 1 e -1).

Resposta

p_{\mathbf{A}}(\lambda)=\lambda^{2}-1=(\lambda-1)(\lambda+1)

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