Calcule o polinômio característico de cada matriz:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz
abaixo. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz:
Passo 2
Definição que vamos usar (sem pressa): o polinômio característico de uma matriz
é
onde
é a variável do polinômio e
é a matriz identidade da mesma ordem que
. Aqui
representa um número (possivelmente complexo) e subtrair
de
significa subtrair
dos elementos da diagonal de
.
Passo 3
Vamos escrever
. A matriz identidade
é
. Então
Passo 4
Precisamos do determinante de uma matriz
. Lembrete básico e importante: para
temos
Também vale notar uma fórmula geral para o polinômio característico de um
com entradas
na diagonal:
Se expandirmos, obtemos a forma canônica
onde
é a soma das entradas da diagonal (traço) e
é o determinante da matriz original.]
Passo 5
Agora aplicamos isso ao nosso caso, com
,
,
e
. Usando a forma direta do determinante:
Passo 6
Calcule passo a passo a expressão obtida. Primeiro note que
, então
Expandindo com cuidado:
Podemos também multiplicar direto:
Portanto
Fatorizando (útil para identificar raízes/eigenvalores),
o que mostra que as raízes são
e
(coisa natural aqui, porque
é triangular e os elementos da diagonal são
e
).