Dados U=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): \operatorname{tr}(A)=0\right\}, onde \operatorname{tr}(A) representa o traço da matriz A e, W=\left\{A \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}): a_{i j}=0\right. se \left.i \neq j\right\} subespaços de M_{3 \times 3}(\mathbb{R}). Temos que
U \cap W=\left\{\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right]: a+b+c=0\right\} .
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado quer que a gente verifique se a igualdade abaixo é verdadeira ou falsa:
U\cap W=\left\{\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right]: a+b+c=0\right\}.
W=\{A\in M_{3\times 3}(\mathbb{R}) : a_{ij}=0\\ \text{se}\\ i\neq j\}, ou seja, W é o conjunto de todas as matrizes diagonais 3\times3.
Queremos saber se a interseção U\cap W coincide com o conjunto das matrizes diagonais cuja soma das entradas da diagonal é zero (ou seja, traço zero).
Passo 2
Entendendo as definições (explicando devagar, como num bom plantão antes da prova).
O traço de uma matriz A=(a_{ij}) é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}.
A interseção de dois conjuntos U e W, denotada U\cap W, é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a U e a W.
Pelo enunciado, toda matriz em W tem a forma (peguei isso da definição de W):
\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right],
com a,b,c\in\mathbb{R}. Para essa matriz, o traço é \operatorname{tr}=\;a+b+c.
Passo 3
Prova da inclusão U\cap W \subseteq \{\text{matrizes diagonais com }a+b+c=0\}.
Tome uma matriz A\in U\cap W. Por pertencer a W, A é diagonal, então pode ser escrita como
A=\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right]
para alguns a,b,c\in\mathbb{R}.
Por pertencer a U, ela tem traço zero, isto é,
\operatorname{tr}(A)=a+b+c=0.
Logo qualquer A\in U\cap W está na direita do enunciado. Assim mostramos U\cap W \subseteq \{\text{matrizes diagonais com }a+b+c=0\}.
Passo 4
Prova da inclusão inversa \{\text{matrizes diagonais com }a+b+c=0\}\subseteq U\cap W.
Tome uma matriz diagonal
D=\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right]
com a+b+c=0.
Como D é diagonal, D\in W por definição de W.
Como \operatorname{tr}(D)=a+b+c=0, segue que D\in U.
Portanto D\in U\cap W. Assim mostramos a inclusão inversa.
Passo 5
Conclusão: como mostramos ambas as inclusões, temos igualdade de conjuntos:
U\cap W=\left\{\left[\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\\\ 0 & b & 0 \\\\ 0 & 0 & c \end{array}\right]: a+b+c=0\right\}.
Isso significa que a afirmação do enunciado é verdadeira. Força aí na prova — essa é bem direta quando você lembra que W são as diagonais e U impõe traço zero.