Por que as raízes de p(\lambda) são exatamente os autovalores?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que as raízes do polinômio p(\lambda) são exatamente os autovalores. Informações dadas (assumidas porque é o contexto habitual): temos uma matriz quadrada A de ordem n e o polinômio característico definido por
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr).
Pergunta: mostrar que um número \lambda é raiz de p(\lambda) se, e somente se, \lambda é um autovalor de A.

Passo 2

Definição de autovalor/autovetor (essencial e simples): dizemos que \lambda é um autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Esse vetor v chama-se autovetor associado a \lambda. Vou reescrever essa igualdade de forma que possamos usar teoria de sistemas lineares: subtraindo \lambda v dos dois lados,
A v - \lambda v = 0.
Fatorando v,
\bigl(A - \lambda I\bigr) v = 0.
Portanto, encontrar um autovalor \lambda equivale a haver um vetor não-nulo v no núcleo (nullspace) da matriz \bigl(A-\lambda I\bigr).

Passo 3

Quando um sistema homogêneo de equações lineares \,M x = 0, tem solução não-trivial? Teoria básica (explicada devagar): para uma matriz quadrada M as duas possibilidades são:
  • Se M é invertível (ou seja, possui inversa M^{-1}), então a única solução é x=0. Porque multiplicando M^{-1} em ambos os lados obtém-se x=0.
  • Se M não é invertível (ou seja, é singular), então existe alguma solução não-trivial x\neq 0.
Aplicando isso ao nosso caso com M=A-\lambda I: existe um autovetor v\neq 0 (ou seja, solução não-trivial de (A-\lambda I)v=0) exatamente quando a matriz A-\lambda I é singular (não-invertível).

Passo 4

Conexão com o determinante: propriedade fundamental da álgebra linear que devemos usar e entender bem:
  • Uma matriz quadrada M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq 0.
  • Consequentemente, M é singular (não-invertível) se, e somente se, \det(M)=0.
Aqui, coloque M=A-\lambda I. Logo:
A-\lambda I \text{ é singular } \iff \det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0.é

Passo 5

Juntando os passos anteriores fazemos a equivalência completa (cada seta explicada):
  • Se \lambda é autovalor, então existe v\neq 0 com (A-\lambda I)v=0. Isso significa que o sistema homogêneo tem solução não-trivial, logo A-\lambda I é singular, portanto \det(A-\lambda I)=0. Ou seja, \lambda é raiz de p(\lambda).
  • Recíproco: se \det(A-\lambda I)=0, então A-\lambda I é singular, logo o sistema (A-\lambda I)v=0 tem solução não-trivial v\neq 0, o que implica Av=\lambda v. Portanto \lambda é autovalor.
Portanto as duas propriedades são equivalentes: ser raiz de p(\lambda) ⇔ ser autovalor de A.

Passo 6

Comentário prático e intuição: o polinômio p(\lambda) monitora para quais \lambda a transformação linear A-\lambda I “deixa espaço” para vetores não-nulos irem para zero. Quando \det(A-\lambda I)=0, a transformação perde invertibilidade e aparece um autovetor. Pensar assim ajuda na prova e na intuição para a prova em prova oral.

Passo 7

Exemplo concreto pequeno (para fixar): seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(3-\lambda).
As raízes são \lambda=2 e \lambda=3. Verificação direta: para \lambda=2,
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é singular e tem vetor não-nulo \,v=(1,0)^T com Av=2v. Para \lambda=3, similarmente existe autovetor v=( -1,1)^T. Assim as raízes coincidem com os autovalores e aparecem os autovetores correspondentes.]

Passo 8

Sobre multiplicidade (observação útil para prova): se uma raiz \lambda aparece com multiplicidade algébrica m no polinômio p(\lambda), então \lambda é autovalor com multiplicidade algébrica m. A dimensão do espaço de autovetores (multiplicidade geométrica) é no máximo m. Isso é importante em questões onde pedem contagem de autovalores com multiplicidade.

Resposta

As raízes de p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr) são exatamente os autovalores de A porque
\lambda \text{ é autovalor} \iff \exists\,v\neq0:\\ (A-\lambda I)v=0 \iff A-\lambda I \text{ é singular} \iff \det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0.éé

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