Por que as raízes de
são exatamente os autovalores?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que as raízes do polinômio
são exatamente os autovalores. Informações dadas (assumidas porque é o contexto habitual): temos uma matriz quadrada
de ordem
e o polinômio característico definido por
Pergunta: mostrar que um número
é raiz de
se, e somente se,
é um autovalor de
.
Passo 2
Definição de autovalor/autovetor (essencial e simples): dizemos que
é um autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Esse vetor
chama-se autovetor associado a
. Vou reescrever essa igualdade de forma que possamos usar teoria de sistemas lineares: subtraindo
dos dois lados,
Fatorando
,
Portanto, encontrar um autovalor
equivale a haver um vetor não-nulo
no núcleo (nullspace) da matriz
.
Passo 3
Quando um sistema homogêneo de equações lineares
, tem solução não-trivial? Teoria básica (explicada devagar): para uma matriz quadrada
as duas possibilidades são:
- Se
é invertível (ou seja, possui inversa ), então a única solução é . Porque multiplicando em ambos os lados obtém-se . - Se
não é invertível (ou seja, é singular), então existe alguma solução não-trivial .
Aplicando isso ao nosso caso com
: existe um autovetor
(ou seja, solução não-trivial de
) exatamente quando a matriz
é singular (não-invertível).
Passo 4
Conexão com o determinante: propriedade fundamental da álgebra linear que devemos usar e entender bem:
- Uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se, . - Consequentemente,
é singular (não-invertível) se, e somente se, .
Aqui, coloque
. Logo:
Passo 5
Juntando os passos anteriores fazemos a equivalência completa (cada seta explicada):
- Se
é autovalor, então existe com . Isso significa que o sistema homogêneo tem solução não-trivial, logo é singular, portanto . Ou seja, é raiz de . - Recíproco: se
, então é singular, logo o sistema tem solução não-trivial , o que implica . Portanto é autovalor.
Portanto as duas propriedades são equivalentes: ser raiz de
⇔ ser autovalor de
.
Passo 6
Comentário prático e intuição: o polinômio
monitora para quais
a transformação linear
“deixa espaço” para vetores não-nulos irem para zero. Quando
, a transformação perde invertibilidade e aparece um autovetor. Pensar assim ajuda na prova e na intuição para a prova em prova oral.
Passo 7
Exemplo concreto pequeno (para fixar): seja
O polinômio característico é
As raízes são
e
. Verificação direta: para
,
que é singular e tem vetor não-nulo
com
. Para
, similarmente existe autovetor
. Assim as raízes coincidem com os autovalores e aparecem os autovetores correspondentes.]
Passo 8
Sobre multiplicidade (observação útil para prova): se uma raiz
aparece com multiplicidade algébrica
no polinômio
, então
é autovalor com multiplicidade algébrica
. A dimensão do espaço de autovetores (multiplicidade geométrica) é no máximo
. Isso é importante em questões onde pedem contagem de autovalores com multiplicidade.
Resposta
As raízes de
são exatamente os autovalores de
porque