O enunciado pergunta: dentre as alternativas (a), (b), (c) e (d), qual conjunto é uma base para M_{2}(\mathbb{R}).\n
Dados relevantes (copiando as alternativas):\n
Alternativa (a):
O que é preciso para um conjunto ser base de M_{2}(\mathbb{R})?\n
Uma base é um conjunto de vetores (aqui: matrizes) que gera (ou span) todo o espaço e é linearmente independente.\n
Um fato útil: o espaço M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais) tem dimensão 4. Isso significa que qualquer base precisa ter exatamente 4 elementos. Um exemplo de base padrão é
Se tivermos 4 matrizes linearmente independentes em M_{2}(\mathbb{R}), automaticamente elas são uma base (porque a dimensão é 4). Portanto, estratégia prática: eliminar alternativas com menos de 4 elementos ou com dependências óbvias; verificar independência para candidatos com 4 elementos.
Passo 3
Eliminar a alternativa (c) por contagem: o conjunto B_c tem apenas 3 matrizes. Como a dimensão de M_{2}(\mathbb{R}) é 4, qualquer base precisa ter 4 vetores; logo B_c não pode ser base.
Passo 4
Análise da alternativa (d): observe que todas as quatro matrizes são múltiplos escalares da mesma matriz
Note que A_2=2A_1 (dependência imediata). Além disso A_4=A_1+A_3. Portanto as quatro matrizes não são independentes — na verdade estão todas no subespaço gerado por A_1 e A_3 (no máximo dimensão 2). Logo (b) não é base.
Passo 6
Restou a alternativa (a). Precisamos verificar que as quatro matrizes são linearmente independentes. Denotemos
Da primeira equação: \gamma = -2\alpha\].\n
- Da segunda: \(\beta = -\gamma = -(-2\alpha)=2\alpha.\n
- Da terceira: \delta = -\beta = -2\alpha.\n
- Da quarta: \alpha + \delta = \alpha + (-2\alpha) = -\alpha = 0, portanto \alpha=0.\n
Com \alpha=0 segue \beta=0, \gamma=0, \delta=0.\n
Logo a única solução é a trivial, o que significa que M_1,M_2,M_3,M_4 são linearmente independentes.]
Passo 7
Como M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e a alternativa (a) fornece 4 matrizes linearmente independentes, esse conjunto gera todo o espaço e, portanto, é uma base de M_{2}(\mathbb{R}). Parabéns — só mais esse passo e você já garante a alternativa certa na prova!