Questão 2

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Dentre os conjuntos a seguir, qual é base para o M_{2}(\mathbb{R}) ?
Escolha uma opção:
◯ a.
\boldsymbol{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
◯ b.
\boldsymbol{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
◯ c.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right\}
◯ d.
\boldsymbol{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 3 & 3 \\\\ 3 & 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 4 & 4 \\\\ 4 & 4 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta: dentre as alternativas (a), (b), (c) e (d), qual conjunto é uma base para M_{2}(\mathbb{R}).\n
Dados relevantes (copiando as alternativas):\n
Alternativa (a):
\boldsymbol{B}_a=\left\{\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
Alternativa (b):
\boldsymbol{B}_b=\left\{\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}
Alternativa (c):
B_c=\left\{\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right\}
Alternativa (d):
\boldsymbol{B}_d=\left\{\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\\\ 2 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 3 & 3 \\\\ 3 & 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\\\ 4 & 4 \end{array}\right]\right\}

Passo 2

O que é preciso para um conjunto ser base de M_{2}(\mathbb{R})?\n
  • Uma base é um conjunto de vetores (aqui: matrizes) que gera (ou span) todo o espaço e é linearmente independente.\n
  • Um fato útil: o espaço M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais) tem dimensão 4. Isso significa que qualquer base precisa ter exatamente 4 elementos. Um exemplo de base padrão é
E_{11}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\\ 0&0\end{array}\right],\; E_{12}=\left[\begin{array}{cc}0&1\\\ 0&0\end{array}\right],\; E_{21}=\left[\begin{array}{cc}0&0\\\ 1&0\end{array}\right],\; E_{22}=\left[\begin{array}{cc}0&0\\\ 0&1\end{array}\right].
Se tivermos 4 matrizes linearmente independentes em M_{2}(\mathbb{R}), automaticamente elas são uma base (porque a dimensão é 4). Portanto, estratégia prática: eliminar alternativas com menos de 4 elementos ou com dependências óbvias; verificar independência para candidatos com 4 elementos.

Passo 3

Eliminar a alternativa (c) por contagem: o conjunto B_c tem apenas 3 matrizes. Como a dimensão de M_{2}(\mathbb{R}) é 4, qualquer base precisa ter 4 vetores; logo B_c não pode ser base.

Passo 4

Análise da alternativa (d): observe que todas as quatro matrizes são múltiplos escalares da mesma matriz
\left[\begin{array}{cc}1&1\\\ 1&1\end{array}\right].
Especificamente,
\left[\begin{array}{cc}2&2\\\ 2&2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}1&1\\\ 1&1\end{array}\right],\; \left[\begin{array}{cc}3&3\\\ 3&3\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{cc}1&1\\\ 1&1\end{array}\right],\; \left[\begin{array}{cc}4&4\\\ 4&4\end{array}\right]=4\left[\begin{array}{cc}1&1\\\ 1&1\end{array}\right].
Assim, todas pertencem a uma reta unidimensional: são linearmente dependentes (qualquer uma é combinação das outras). Logo (d) não é base.

Passo 5

Análise da alternativa (b): escreva as matrizes como
A_1=\left[\begin{array}{cc}1&0\\\ 1&0\end{array}\right],\; A_2=\left[\begin{array}{cc}2&0\\\ 2&0\end{array}\right]=2A_1,\; A_3=\left[\begin{array}{cc}0&1\\\ 0&1\end{array}\right],\; A_4=\left[\begin{array}{cc}1&1\\\ 1&1\end{array}\right].
Note que A_2=2A_1 (dependência imediata). Além disso A_4=A_1+A_3. Portanto as quatro matrizes não são independentes — na verdade estão todas no subespaço gerado por A_1 e A_3 (no máximo dimensão 2). Logo (b) não é base.

Passo 6

Restou a alternativa (a). Precisamos verificar que as quatro matrizes são linearmente independentes. Denotemos
M_1=\left[\begin{array}{cc}2&0\\[4pt]0&1\end{array}\right],\; M_2=\left[\begin{array}{cc}0&1\\[4pt]1&0\end{array}\right],\; M_3=\left[\begin{array}{cc}1&1\\[4pt]0&0\end{array}\right],\; M_4=\left[\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]1&1\end{array}\right].
Suponha que exista uma combinação linear nula:
\alpha M_1+\beta M_2+\gamma M_3+\delta M_4= \left[\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]0&0\end{array}\right].
Vamos escrever entradapor entrada essa igualdade. Somando as matrizes com coeficientes obtemos a matriz cujas entradas são:
  • entrada [(1,1)): 2\alpha + 0\beta + 1\gamma + 0\delta.
  • entrada (1,2): 0\alpha + 1\beta + 1\gamma + 0\delta.
  • entrada (2,1): 0\alpha + 1\beta + 0\gamma + 1\delta.
  • entrada (2,2): 1\alpha + 0\beta + 0\gamma + 1\delta.
Igualando cada entrada a zero obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 2\alpha + \gamma = 0,\\[4pt] \beta + \gamma = 0,\\[4pt] \beta + \delta = 0,\\[4pt] \alpha + \delta = 0. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:\n
  • Da primeira equação: \gamma = -2\alpha\].\n - Da segunda: \(\beta = -\gamma = -(-2\alpha)=2\alpha.\n
    - Da terceira: \delta = -\beta = -2\alpha.\n
    - Da quarta: \alpha + \delta = \alpha + (-2\alpha) = -\alpha = 0, portanto \alpha=0.\n
    Com \alpha=0 segue \beta=0, \gamma=0, \delta=0.\n
    Logo a única solução é a trivial, o que significa que M_1,M_2,M_3,M_4 são linearmente independentes.]

Passo 7

Como M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4 e a alternativa (a) fornece 4 matrizes linearmente independentes, esse conjunto gera todo o espaço e, portanto, é uma base de M_{2}(\mathbb{R}). Parabéns — só mais esse passo e você já garante a alternativa certa na prova!

Resposta

(a)

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