Calcule o polinômio característico de cada uma das matrizes sobre \mathbb{R}.
C=\left[\begin{array}{rrrr}0 & 1 & -1 & 1 \\\\ -1 & -3 & 1 & 0 \\\\ -2 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz C sobre \mathbb{R}. A matriz dada é
C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ -1 & -3 & 1 & 0 \\\\ -2 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • C é uma matriz 4\times4.
  • A última linha de C é (0,0,0,1), ou seja, há um bloco triangular evidente na matriz (bloco 3\times3 no canto superior esquerdo e o escalar 1 no canto inferior direito).

Passo 2

O que é o polinômio característico e uma propriedade útil aqui.
Definição: o polinômio característico de uma matriz C é
p_C(\lambda)=\det(\lambda I - C).
Propriedade de matrizes em bloco triangular: se uma matriz é block-triangular da forma
\begin{pmatrix}A & B \\\\ 0 & d\end{pmatrix},
então
\det(\lambda I - C)=\det(\lambda I_{3}-A)\cdot(\lambda-d),
isto é, o determinante (logo o polinômio característico) é o produto dos determinantes dos blocos diagonais (aqui o bloco 3\times3 e o escalar 1).
Vou aplicar essa propriedade à matriz C.

Passo 3

Escrevendo C em blocos, tomando A o canto superior esquerdo 3\times3 e observando o escalar 1 no canto inferior direito:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad d=1.
Pelo passo anterior,
p_C(\lambda)=\det(\lambda I_4 - C)=\det(\lambda I_3 - A)\cdot(\lambda-1).
Logo agora falta calcular \det(\lambda I_3 - A).

Passo 4

Escrever explicitamente a matriz \lambda I_3 - A e preparar o cálculo do determinante:
\lambda I_3 - A=\begin{pmatrix} \lambda & -1 & 1\\[4pt] 1 & \lambda+3 & -1\\[4pt] 2 & -2 & \lambda-1 \end{pmatrix}.
Usarei a fórmula do determinante de 3\times3:
seja M=(m_{ij}), então
\det(M)=m_{11}\det\begin{pmatrix}m_{22}&m_{23}\\[2pt]m_{32}&m_{33}\end{pmatrix} -m_{12}\det\begin{pmatrix}m_{21}&m_{23}\\[2pt]m_{31}&m_{33}\end{pmatrix} +m_{13}\det\begin{pmatrix}m_{21}&m_{22}\\[2pt]m_{31}&m_{32}\end{pmatrix}.
Aplicando isso com m_{11}=\lambda, m_{12}=-1, m_{13}=1.]

Passo 5

Calcular os menores (determinantes 2\times2) que aparecem na fórmula.
Primeiro menor:
M_1=\det\begin{pmatrix}\lambda+3 & -1\\[2pt]-2 & \lambda-1\end{pmatrix} =(\lambda+3)(\lambda-1)-(-1)(-2).
Expandindo,
(\lambda+3)(\lambda-1)=\lambda^2+2\lambda-3,
e então
M_1=\lambda^2+2\lambda-3-2=\lambda^2+2\lambda-5.
Segundo menor:
M_2=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]2 & \lambda-1\end{pmatrix} =1\cdot(\lambda-1)-(-1)\cdot 2 =\lambda-1+2=\lambda+1.
Terceiro menor:
M_3=\det\begin{pmatrix}1 & \lambda+3\\[2pt]2 & -2\end{pmatrix} =1\cdot(-2)-(\lambda+3)\cdot 2 =-2-2\lambda-6=-8-2\lambda.]

Passo 6

Agora montar o determinante do 3\times3 usando a fórmula:
\det(\lambda I_3 - A) =\lambda\cdot M_1 -(-1)\cdot M_2 + 1\cdot M_3.
Substituindo os valores obtidos:
\det(\lambda I_3 - A)=\lambda(\lambda^2+2\lambda-5)+(\lambda+1)+(-8-2\lambda).
Expandindo e somando termos semelhantes:
\lambda(\lambda^2+2\lambda-5)=\lambda^3+2\lambda^2-5\lambda.
Somando os demais termos:
\lambda^3+2\lambda^2-5\lambda+\lambda+1-8-2\lambda =\lambda^3+2\lambda^2-6\lambda-7.
Portanto
\det(\lambda I_3 - A)=\lambda^3+2\lambda^2-6\lambda-7.

Passo 7

Finalmente, usando p_C(\lambda)=(\lambda-1)\det(\lambda I_3 - A), obtemos
p_C(\lambda)=(\lambda-1)\bigl(\lambda^3+2\lambda^2-6\lambda-7\bigr).
Multiplicando para escrever o polinômio expandido:
p_C(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3-8\lambda^2-\lambda+7.

Resposta

p_C(\lambda)=\lambda^4+\lambda^3-8\lambda^2-\lambda+7

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