Calcule o polinômio característico de cada uma das matrizes sobre \mathbb{R}. B=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 2 & 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz B sobre \mathbb{R}. A matriz fornecida é
Deve-se obter o polinômio característico (uma função de \lambda) associado a B.]
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (de forma curta e óbvia) o que é o polinômio característico e qual convenção vou usar: o polinômio característico de uma matriz A é normalmente definido pela fórmula
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Essa definição dá um polinômio monico (ou seja, com coeficiente 1 no termo de maior grau), o que é conveniente para estudar autovalores. Vou usar essa convenção aqui para A=B.
Explicação didática rápida: \lambda I - A é a matriz cuja diagonal tem \lambda em cada entrada da diagonal principal menos as entradas de A. O determinante dessa matriz, visto como função de \lambda, é um polinômio de grau n (aqui n=3). Para calcular esse determinante, vou usar a expansão por co-fatores (expansão pela primeira linha), que é um método direto e manual que dá para fazer sem calculadora.
Passo 3
Formo a matriz \lambda I - B. Cada entrada é \lambda na diagonal menos o correspondente de B, e nas posições fora da diagonal é 0 menos o correspondente de B. Assim:
Agora avalio o sinal dos cofatores: (-1)^{1+2}=-1 e (-1)^{1+3}=+1. Assim a soma fica mais simples (observe que o fator -1 do a_{12} acaba trocando o sinal):
Interpretação final: o polinômio obtido é monico de grau 3, como esperado para uma matriz 3\times3. Esse polinômio é o polinômio característico p_B(\lambda)=\det(\lambda I - B).