Calcule o polinômio característico de cada uma das matrizes sobre \mathbb{R}.
B=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\\\ 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 2 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz B sobre \mathbb{R}. A matriz fornecida é
B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -3 & 2\\[4pt] 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz B é 3\times3.
  • Deve-se obter o polinômio característico (uma função de \lambda) associado a B.]

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (de forma curta e óbvia) o que é o polinômio característico e qual convenção vou usar: o polinômio característico de uma matriz A é normalmente definido pela fórmula
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A),
onde I é a matriz identidade da mesma ordem. Essa definição dá um polinômio monico (ou seja, com coeficiente 1 no termo de maior grau), o que é conveniente para estudar autovalores. Vou usar essa convenção aqui para A=B.
Explicação didática rápida: \lambda I - A é a matriz cuja diagonal tem \lambda em cada entrada da diagonal principal menos as entradas de A. O determinante dessa matriz, visto como função de \lambda, é um polinômio de grau n (aqui n=3). Para calcular esse determinante, vou usar a expansão por co-fatores (expansão pela primeira linha), que é um método direto e manual que dá para fazer sem calculadora.

Passo 3

Formo a matriz \lambda I - B. Cada entrada é \lambda na diagonal menos o correspondente de B, e nas posições fora da diagonal é 0 menos o correspondente de B. Assim:
\lambda I - B = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 1 \\[4pt] -1 & \lambda+3 & -2 \\[4pt] -2 & -2 & \lambda \end{pmatrix}.
(Verificação rápida: por exemplo, posição (2,2): \lambda -(-3)=\lambda+3. Pos. (1,3): 0-(-1)=1.)]

Passo 4

Vou calcular o determinante de \lambda I - B por expansão pela primeira linha. A fórmula da expansão pela primeira linha é
\det(\lambda I - B)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a menor 2×2 obtida eliminando a linha 1 e a coluna j.
Para nossa matriz, os elementos da primeira linha são a_{11}=\lambda, a_{12}=-1, a_{13}=1. Portanto
\det(\lambda I - B)= \lambda\cdot\det\!\begin{pmatrix}\lambda+3 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} +(-1)\cdot(-1)^{1+2}\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} +1\cdot(-1)^{1+3}\det\!\begin{pmatrix}-1 & \lambda+3 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix}.
Agora avalio o sinal dos cofatores: (-1)^{1+2}=-1 e (-1)^{1+3}=+1. Assim a soma fica mais simples (observe que o fator -1 do a_{12} acaba trocando o sinal):
\det(\lambda I - B)= \lambda\cdot\det\!\begin{pmatrix}\lambda+3 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} +\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} +\det\!\begin{pmatrix}-1 & \lambda+3 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo cada determinante 2×2 separadamente. Lembre: para uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante vale ad-bc.
  1. Primeiro menor:
\det\!\begin{pmatrix}\lambda+3 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} = (\lambda+3)\cdot\lambda - (-2)\cdot(-2).
Calculo passo a passo:
(\lambda+3)\lambda = \lambda^2 + 3\lambda, \qquad (-2)\cdot(-2)=4,
portanto
\det\!\begin{pmatrix}\lambda+3 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 + 3\lambda - 4.]

Passo 6

  1. Segundo menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} = (-1)\cdot\lambda - (-2)\cdot(-2).
Calculo:
(-1)\lambda = -\lambda, \qquad (-2)\cdot(-2)=4,
logo
\det\!\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -2 & \lambda\end{pmatrix} = -\lambda - 4.]

Passo 7

  1. Terceiro menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & \lambda+3 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix} = (-1)\cdot(-2) - (\lambda+3)\cdot(-2).
Calculo:
(-1)\cdot(-2)=2, \qquad (\lambda+3)\cdot(-2) = -2\lambda -6,
então subtraindo:
2 - (\,-2\lambda -6\,) = 2 + 2\lambda + 6 = 2\lambda + 8.
Logo
\det\!\begin{pmatrix}-1 & \lambda+3 \\[4pt] -2 & -2\end{pmatrix} = 2\lambda + 8.]

Passo 8

Agora substituo os determinantes 2×2 na expressão da expansão (Passo 4):
\det(\lambda I - B) = \lambda\cdot\bigl(\lambda^2 + 3\lambda - 4\bigr) + \bigl(-\lambda - 4\bigr) + \bigl(2\lambda + 8\bigr).

Passo 9

Faço a multiplicação e a soma dos termos semelhantes passo a passo:
\lambda\cdot(\lambda^2 + 3\lambda - 4) = \lambda^3 + 3\lambda^2 - 4\lambda.
Somando os outros termos:
(-\lambda - 4) + (2\lambda + 8) = (-\lambda + 2\lambda) + (-4 + 8) = \lambda + 4.
Agora somo tudo:
\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4\lambda + (\lambda + 4) = \lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda + 4.

Passo 10

Interpretação final: o polinômio obtido é monico de grau 3, como esperado para uma matriz 3\times3. Esse polinômio é o polinômio característico p_B(\lambda)=\det(\lambda I - B).

Resposta

\lambda^{3} + 3\lambda^{2} - 3\lambda + 4

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