a) Calcule o polinômio de grau menor ou igual a dois que interpola f(x)=x^3 nos pontos x0=-1, x1=0 e x2=1 pelo método de Lagrange.
b) Determine exatamente os valores Ai=integral-2^2 Li(x) d x usando o método de Simpson, onde Li(x), i=0,1,2 são os polinômios de Lagrange usados no item a).
c) Use os valores de Ai para obter uma aproximação de integral-2^2 f(x) d x. Qual o erro nesta aproximação?

Passo 1

O enunciado pede para interpolar o polinômio de grau ≤2 para f(x)=x³ nos pontos x₀=−1, x₁=0, x₂=1 pelo método de Lagrange; depois, calcular os coeficientes A_i=∫_{−2}^{2}L_i(x)dx usando a regra de Simpson (que é exata para polinômios de grau ≤3); por fim, usar esses A_i para aproximar ∫_{−2}^{2}f(x)dx e estimar o erro.

Passo 2

Para montar p₂(x) usamos as funções base de Lagrange
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
Substituindo x_0=−1,x_1=0,x_2=1 obtemos
L0(x)=x(x-1)2, L1(x)=1−x^2, L2(x)=x(x+1)2
Como f(−1)=−1, f(0)=0, f(1)=1, segue
p2(x)=f(−1)L0(x)+f(0)L1(x)+f(1)L2(x)=−L0(x)+L2(x)=x

Passo 3

Para calcular A_i=∫_{−2}^{2}L_i(x)dx usamos a regra de Simpson em [−2,2]:
Ai=b−a6l[Li(−2)+4Li(0)+Li(2)r],
com b−a=4. Calculando cada um:
L0(−2)=3, ;L0(0)=0, ;L0(2)=1 $$
L_1(−2)=−3,
;L_1(0)=1,
;L_1(2)=−3
$$ L1(−2)=−3, ;L1(0)=1, ;L1(2)=−3
Logo
L2(−2)=1, ;L2(0)=0, ;L2(2)=3

Passo 4

A aproximação da integral é dada por
integral−2^2f(x)dxapproxsumi=0^2Ai f(xi)=A0 f(−1)+A1 f(0)+A2 f(1)=−83+0+83=0
O valor exato é
integral−2^2x^3dx=0,
portanto o erro da aproximação é zero.

Resposta

O polinômio interpolador é p2(x)=x. Os pesos são A0=8/3, A1=-4/3, A2=8/3. A aproximação de integral-2^2x^3dx é 0 e o erro é 0.

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