a) Calcule o polinômio de grau menor ou igual a dois que interpola
nos pontos
e
pelo método de Lagrange.
b) Determine exatamente os valores
usando o método de Simpson, onde
são os polinômios de Lagrange usados no item a).
c) Use os valores de
para obter uma aproximação de
. Qual o erro nesta aproximação?
b) Determine exatamente os valores
c) Use os valores de
Passo 1
O enunciado pede para interpolar o polinômio de grau ≤2 para f(x)=x³ nos pontos x₀=−1, x₁=0, x₂=1 pelo método de Lagrange; depois, calcular os coeficientes A_i=∫_{−2}^{2}L_i(x)dx usando a regra de Simpson (que é exata para polinômios de grau ≤3); por fim, usar esses A_i para aproximar ∫_{−2}^{2}f(x)dx e estimar o erro.
Passo 2
Para montar p₂(x) usamos as funções base de Lagrange
Substituindo x_0=−1,x_1=0,x_2=1 obtemos
Como f(−1)=−1, f(0)=0, f(1)=1, segue
Passo 3
Para calcular A_i=∫_{−2}^{2}L_i(x)dx usamos a regra de Simpson em [−2,2]:
com b−a=4. Calculando cada um:
L_1(−2)=−3,
;L_1(0)=1,
;L_1(2)=−3
;L_1(0)=1,
;L_1(2)=−3
$$
Logo
Passo 4
A aproximação da integral é dada por
O valor exato é
portanto o erro da aproximação é zero.
Resposta
O polinômio interpolador é
. Os pesos são
,
,
. A aproximação de
é
e o erro é
.