Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir.
A=(cc2 & -1 -1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio mínimo da matriz
A = 2 & -1 -1 & 2
O conteúdo aqui é a teoria de polinômios característico e mínimo de uma matriz; para isso, vamos encontrar primeiro os autovalores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A pela definição
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda
Usando a fórmula de determinante de 2times2,
chiA(lambda) = (2 - lambda)^2 - (-1)cdot(-1) = (2 - lambda)^2 - 1
Expandindo,
chiA(lambda) = lambda^2 - 4lambda + 3

Passo 3

Fatoramos chiA(lambda) para obter os autovalores:
lambda^2 - 4lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda - 3)
Logo os autovalores de A são lambda1 = 1 e lambda2 = 3, que são distintos.

Passo 4

Como A tem autovalores distintos, ela é diagonalizável e o polinômio mínimo tem exatamente as raízes correspondentes a esses autovalores, todas com multiplicidade 1. Portanto,
mA(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 3)

Resposta

mA(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 3)

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