Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir.
A=(ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio mínimo de
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
O conteúdo envolvido é polinômio característico e minimal, e vamos usar o fato de que, quando todos os autovalores são distintos, o polinômio mínimo coincide com o polinômio característico.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico chiA(lambda)=det(lambda I - A). Temos
lambda I - A = lambda-1 & 1 & 0 -2 & lambda-3& -2 -1 & -1 & lambda-2
Fazendo a expansão pela primeira linha:
chiA(lambda) =(lambda-1)detlambda-3&-2-1&lambda-2 -1det-2&-2-1&lambda-2
Calculando os determinantes:
detlambda-3&-2-1&lambda-2 =(lambda-3)(lambda-2)-2 =lambda^2-5lambda+4,
det-2&-2-1&lambda-2 =-2(lambda-2)-(-2)cdot(-1) =-2lambda+4-2 = -2lambda+2
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chiA(lambda) =(lambda-1)(lambda^2-5lambda+4)-1cdot(-2lambda+2) =(lambda-1)(lambda^2-5lambda+4)+2lambda-2
Agrupando em lambda-1:
chiA(lambda) =(lambda-1)(lambda^2-5lambda+6) =(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 3

Da fatoração
chiA(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)
vemos que os autovalores são lambda=1,2,3, todos com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, o operador é diagonalizável e o polinômio mínimo coincide com o polinômio característico, sem fatores repetidos.

Resposta

mA(lambda)=(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)

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