Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir.
T: R^4 R^4 dado por T(x, y, z, t)=(x+y, 2 y+t, z, t).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^4toR^4 por
T(x,y,z,t) = (,x + y,;2y + t,;z,;t,)
Queremos encontrar o polinômio mínimo de T. Para isso, vamos
1. escrever a matriz de T na base canônica,
2. calcular o polinômio característico e as multiplicidades dos autovalores,
3. determinar as dimensões dos espaços próprios (geometric multiplicities) e daí os tamanhos dos blocos de Jordan,
4. então extrair o polinômio mínimo como o produto prod(lambda-lambdai)^di, onde di é o tamanho do maior bloco de Jordan para lambdai.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3,e4, temos
T(e1)=T(1,0,0,0)=(1,0,0,0)=e1, T(e2)=T(0,1,0,0)=(1,2,0,0)=e1+2e2,
T(e3)=T(0,0,1,0)=(0,0,1,0)=e3, T(e4)=T(0,0,0,1)=(0,1,0,1)=e2+e4
Logo a matriz de T é
A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(lambda I - A) = det lambda-1 & -1 & 0 & 0 0 & lambda-2 & 0 & -1 0 & 0 & lambda-1 & 0 0 & 0 & 0 & lambda-1
Como esta matriz é triangular por blocos,
chiA(lambda) = (lambda-1),(lambda-2),(lambda-1),(lambda-1) = (lambda-1)^3(lambda-2)
Portanto os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 3)
e lambda=2 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Agora calculamos as dimensões dos espaços próprios:
1. Para lambda=1, resolvemos (A - I)x=0.
A - I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Tem posto 2, logo nulidade =4-2=2. Então a multiplicidade geométrica de
lambda=1 é 2, menor que a algébrica 3. Isso implica um bloco de Jordan
de tamanho 2 para lambda=1.
2. Para lambda=2, resolvemos (A - 2I)x=0.
A - 2I = -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Tem posto 3, nulidade =4-3=1. Multiplicidade geométrica de
lambda=2 é 1 ( = algébrica), logo bloco de Jordan de tamanho 1.
Assim, na decomposição de Jordan há:
  • Um bloco de tamanho 2 para o autovalor lambda=1,
  • Um bloco de tamanho 1 para lambda=1,
  • Um bloco de tamanho 1 para lambda=2.

Passo 5

O polinômio mínimo é o produto dos fatores (lambda-lambdai)^di,
onde di é o maior tamanho de bloco de Jordan para lambdai. Portanto
mA(lambda) = (lambda - 1)^2(lambda - 2)

Resposta

O polinômio mínimo de T é
mT(lambda) = (lambda-1)^2(lambda-2)

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