Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir. dado por .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio mínimo do operador linear definido por
O conteúdo que vamos usar inclui representação matricial na base canônica, cálculo do polinômio característico e análise das multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores para determinar o polinômio mínimo.
Passo 2
Na base canônica , a matriz de é
Passo 3
Para achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I), calculamos
Como convencionalmente escolhemos o coeficiente líder positivo, escrevemos
chiA(lambda)=lambda(lambda-2)^2
Passo 4
As raízes de chiA(lambda) são os autovalores: lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 5
Para verificar a multiplicidade geométrica de lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0. Temos
A-2I= 0 & 1 & -1 4 & -1 & -3 0 & 1 & -1
que gera as equações y=z e 4x-4z=0, ou seja x=z. Logo todo vetor próprio é múltiplo de (1,1,1), de modo que a multiplicidade geométrica de 2 é 1. Isso sinaliza a presença de um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=2.
Passo 6
O polinômio mínimo deve conter cada fator (lambda-autovalor) elevado ao tamanho máximo de bloco de Jordan correspondente. Como lambda=0 tem bloco de tamanho 1 e lambda=2 tem bloco de tamanho 2, ficamos com