Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir.
T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 4 x+y-3 z, y+z).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio mínimo do operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z)=(2x+y-z,;4x+y-3z,;y+z)
O conteúdo que vamos usar inclui representação matricial na base canônica, cálculo do polinômio característico e análise das multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores para determinar o polinômio mínimo.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
A= 2 & 1 & -1 4 & 1 & -3 0 & 1 & 1

Passo 3

Para achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I), calculamos
det 2-lambda & 1 & -1 4 & 1-lambda & -3 0 & 1 & 1-lambda =-lambda(lambda-2)^2
Como convencionalmente escolhemos o coeficiente líder positivo, escrevemos
chiA(lambda)=lambda(lambda-2)^2

Passo 4

As raízes de chiA(lambda) são os autovalores:
lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 5

Para verificar a multiplicidade geométrica de lambda=2, resolvemos (A-2I)v=0. Temos
A-2I= 0 & 1 & -1 4 & -1 & -3 0 & 1 & -1
que gera as equações y=z e 4x-4z=0, ou seja x=z. Logo todo vetor próprio é múltiplo de (1,1,1), de modo que a multiplicidade geométrica de 2 é 1. Isso sinaliza a presença de um bloco de Jordan de tamanho 2 para lambda=2.

Passo 6

O polinômio mínimo deve conter cada fator (lambda-autovalor) elevado ao tamanho máximo de bloco de Jordan correspondente. Como lambda=0 tem bloco de tamanho 1 e lambda=2 tem bloco de tamanho 2, ficamos com
m(lambda)=lambda(lambda-2)^2

Resposta

mT(lambda)=lambda(lambda-2)^2.

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