Calcule o polinômio mínimo de cada operador e matriz a seguir.
A=(lllll2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio mínimo de
A = 2 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2
Aqui o conteúdo é o conceito de polinômio mínimo de uma matriz e a relação com blocos de Jordan.

Passo 2

Vamos escrever
A = 2I + N,
onde
N = A - 2I = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Nesse formato, N é nilpotente e reflete os dois blocos de Jordan de tamanho 3 e 2 (para o autovalor 2).

Passo 3

Em qualquer bloco de Jordan de tamanho m, a parte nilpotente N satisfaz N^m=0 e N^m-1neq0. Aqui o maior bloco tem m=3, então
N^2neq0, N^3=0
Isso implica que o menor polinômio que anula A é (x-2)^3.

Resposta

O polinômio mínimo de A é
mA(x) = (x - 2)^3

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