Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
lx equiv 5(bmod 12) x equiv 7(bmod 19)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências
x equiv 5 pmod12, x equiv 7 pmod19
O conteúdo aqui é o Teorema Chinês dos Resíduos (CRT). Vamos usar a forma construtiva: expressar x em função de um parâmetro a partir da primeira congruência e impor a segunda para achar esse parâmetro.

Passo 2

Da primeira congruência temos
x = 5 + 12k,
para algum inteiro k. Substituindo na segunda:
5 + 12k equiv 7 pmod19 Longrightarrow 12k equiv 2 pmod19

Passo 3

Para resolver 12k equiv 2 pmod19 precisamos do inverso de 12 módulo 19. Como
12cdot 8 = 96 equiv 1 pmod19,
vemos que 12^-1equiv 8pmod19. Multiplicando a congruência por 8:
k equiv 8cdot 2 = 16 pmod19

Passo 4

Voltando a x=5+12k com k=16:
x = 5 + 12cdot16 = 5 + 192 = 197
Como os módulos são coprimos ( gcd(12,19)=1), o módulo comum é 12cdot19=228. Logo
x equiv 197 pmod228

Resposta

x equiv 197 pmod228

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