Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(x, x+y) e seja f: R R dada por f(t)=t^2+3 t+5. Determine o operador linear f(T): R^2 R^2.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^2to R^2 definido por
T(x,y) = (x,;x+y)
e a função fcolon Rto R dada por
f(t) = t^2 + 3t + 5
Como f é um polinômio, definimos
f(T) ;=; T^2 ;+; 3T ;+; 5I,
onde I é o operador identidade em R^2.

Passo 2

Para encontrar T^2, aplicamos T duas vezes a (x,y):
T(x,y) = (x,;x+y),
T^2(x,y) = Tl(T(x,y)r) = T(x,x+y) = l(x,;x+(x+y)r) = (x,;2x+y)

Passo 3

Agora calculamos cada termo em (x,y) e somamos:
T^2(x,y) = (x,;2x+y),
3T(x,y) = 3,(x,;x+y) = (3x,;3x+3y),
5I(x,y) = 5,(x,y) = (5x,;5y)
Somando componente a componente,
f(T)(x,y) = (x+3x+5x,;(2x+y)+(3x+3y)+5y) = (9x,;5x+9y)

Resposta

f(T)(x,y) = (9x,;5x+9y)

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