Seja
um operador linear definido por
.
(a) Determine o operador
, em que
.
(b) Determine
, sabendo que
é o polinômio característico de
.
(a) Determine o operador
(b) Determine
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
e pede dois itens:
– (a) o operador para o polinômio
;
– (b) o operador , onde
é o polinômio característico de
.
Para isso precisamos escrever a matriz de na base canônica, calcular
, depois formar
e, por fim, obter
e aplicar o Teorema de Cayley–Hamilton.
– (a) o operador
– (b) o operador
Para isso precisamos escrever a matriz de
Passo 2
Na base canônica, a matriz de
é
Para achar
, calculamos
o que corresponde a
Passo 3
Agora formamos
Aplicando em
:
Somando coordenada a coordenada:
Passo 4
O polinômio característico de
é
Passo 5
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton,
é o operador nulo, ou seja,
Resposta
(a)
(b) (operador nulo).
(b)