Seja T: R^2 R^2 um operador linear definido por T(x, y)=(x-y, x).
(a) Determine o operador f(T), em que f(x)=2 x^2-x+1.
(b) Determine p(T), sabendo que p(t) é o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T: R^2to R^2 por
T(x,y)=(x-y,;x)
e pede dois itens:
– (a) o operador f(T) para o polinômio f(x)=2x^2 - x +1;
– (b) o operador p(T), onde p(t) é o polinômio característico de T.
Para isso precisamos escrever a matriz de T na base canônica, calcular T^2, depois formar 2T^2 - T + I e, por fim, obter p(t)=det(A - tI) e aplicar o Teorema de Cayley–Hamilton.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 1 & -1[6pt]1 & 0
Para achar T^2, calculamos
A^2 = 1 & -1[3pt]1 & 0 1 & -1[3pt]1 & 0 = 0 & -1[3pt]1 & -1,
o que corresponde a
T^2(x,y)=(-y,;x-y) ]

Passo 3

Agora formamos
f(T) ;=;2,T^2 ;-;T;+;I
Aplicando em (x,y):
2,T^2(x,y) = (-2y,;2x-2y), -T(x,y)=(-x+y,;-x), I(x,y)=(x,y)
Somando coordenada a coordenada:
f(T)(x,y)=(-2y -x +y + x,;2x-2y -x + y) =(-y,;x - y)

Passo 4

O polinômio característico de A é
p(t)=detl(A - tIr) =det1-t & -1[3pt]1 & -t =(1-t)(-t)-(-1)cdot1 =t^2 - t + 1 ]

Passo 5

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, p(T)=T^2 - T + I é o operador nulo, ou seja,
p(T)=0

Resposta

(a) f(T)(x,y)=(-y,;x - y)
(b) p(T)=0 (operador nulo).

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