Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x +infty raiz[m]x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de raiz[m]x quando x tende a mais infinito. Isso envolve conhecimentos de limites e funções de raiz. Vamos precisar entender como as raízes funcionam e como se comportam quando o valor de x fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão raiz[m]x de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabia que a raiz m-ésima de x pode ser escrita como uma potência? Isso fica assim:
raiz[m]x = x^1m
Isso facilita a análise do limite.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando x cresce sem limites, ou seja, x vai para mais infinito ( +infty). Quando elevamos um número grande a uma potência positiva, o resultado também fica bem grande. No nosso caso, estamos elevando x a 1m, que é um número positivo (já que m é um índice de raiz, geralmente positivo).

Passo 4

Considerando que x está indo para infinito, e sabendo que qualquer potência positiva de x também tende a infinito, podemos concluir que:
limx +infty x^1m = +infty
Isso significa que à medida que x aumenta sem parar, a raiz m-ésima de x também aumenta sem limites.

Resposta

limx +infty raiz[m]x = +infty

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