Calcule os seguintes limites infinitos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
tende a mais infinito. Isso envolve conhecimentos de limites e funções de raiz. Vamos precisar entender como as raízes funcionam e como se comportam quando o valor de
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma mais fácil de trabalhar. Sabia que a raiz m-ésima de
pode ser escrita como uma potência? Isso fica assim:
Isso facilita a análise do limite.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando
cresce sem limites, ou seja,
vai para mais infinito (
). Quando elevamos um número grande a uma potência positiva, o resultado também fica bem grande. No nosso caso, estamos elevando
a
, que é um número positivo (já que
é um índice de raiz, geralmente positivo).
Passo 4
Considerando que
está indo para infinito, e sabendo que qualquer potência positiva de
também tende a infinito, podemos concluir que:
Isso significa que à medida que
aumenta sem parar, a raiz m-ésima de
também aumenta sem limites.