Verifique se os seguintes limites existem:
lim x 0^+[[xa]]

Passo 1

Beleza, vamos ver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o limite lim x 0^+[[xa]] existe. Aqui estamos trabalhando com limites e funções piso (aquelas que arredondam pra baixo). Pra resolver, vamos precisar entender como funciona a função piso e analisar o comportamento de xa quando x se aproxima de 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a notação [[xa]]. Essa é a função piso, que pega um número real e arredonda ele pro menor inteiro mais próximo. Por exemplo, [[2.7]] = 2 e [[-1.3]] = -2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com xa quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x 0^+. O valor de xa depende do sinal de a:
  • Se a > 0, então xa será um número positivo muito pequeno, próximo de 0.
  • Se a < 0, então xa será um número negativo muito pequeno, próximo de 0.
  • Se a = 0, a expressão xa não está definida, já que não podemos dividir por zero.

Passo 4

Vamos tratar os casos separadamente:
Caso 1: a > 0
Quando a é positivo e x se aproxima de 0 pela direita, xa fica entre 0 e 1. A função piso de um número entre 0 e 1 é 0. Então:
lim x 0^+[[xa]] = 0 se a > 0
Caso 2: a < 0
Aqui, xa é negativo e se aproxima de 0 pela esquerda. A função piso de um número negativo que está entre -1 e 0 é -1. Então:
lim x 0^+[[xa]] = -1 se a < 0
Caso 3: a = 0
Como mencionei antes, xa não está definida quando a = 0, então o limite não existe nesse caso.

Resposta

O limite existe para todo a neq 0 e é igual a:
lim x 0^+[[xa]] = 0 & se a > 0, -1 & se a < 0

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