Verifique se os seguintes limites existem:
Passo 1
Beleza, vamos ver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o limite
existe. Aqui estamos trabalhando com limites e funções piso (aquelas que arredondam pra baixo). Pra resolver, vamos precisar entender como funciona a função piso e analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a notação
. Essa é a função piso, que pega um número real e arredonda ele pro menor inteiro mais próximo. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
. O valor de
depende do sinal de
:
- Se
, então será um número positivo muito pequeno, próximo de . - Se
, então será um número negativo muito pequeno, próximo de . - Se
, a expressão não está definida, já que não podemos dividir por zero.
Passo 4
Vamos tratar os casos separadamente:
Caso 1:
Quando
é positivo e
se aproxima de
pela direita,
fica entre
e
. A função piso de um número entre
e
é
. Então:
Caso 2:
Aqui,
é negativo e se aproxima de
pela esquerda. A função piso de um número negativo que está entre
e
é
. Então:
Caso 3:
Como mencionei antes,
não está definida quando
, então o limite não existe nesse caso.
Resposta
O limite existe para todo
e é igual a: