Qual o volume do sólido que se encontra limitado acima pelo plano z=4 e abaixo pelo paraboloide z=x^2+y^2 ? Esboce o gráfico da região de interesse.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado superiormente pelo plano z = 4 e inferiormente pelo paraboloide z = x^2 + y^2. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla (ou dupla via projeção), e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para simplificar.

Passo 2

Primeiro identificamos a projeção da região no plano xy. Igualando as duas superfícies: x^2+y^2 = 4. Isso define um disco de raio 2 no plano xy: 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, temos x^2+y^2 = r^2 e o elemento de área é dA = r,dr,dtheta. O volume é dado por V = integral duplaD l(4 - (x^2+y^2)r),dA = integral0^2piintegral0^2l(4 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r: integral0^2(4r - r^3),dr = l[2r^2 - r^44r]0^2 = 2cdot4 - 164 = 8 - 4 = 4

Passo 5

Agora integramos em theta: V = integral0^2pi4,dtheta = 4 times 2pi = 8pi

Passo 6

Para esboçar a região, desenhe no plano xy um disco de raio 2. No espaço, o paraboloide z=r^2 cresce do vértice (0,0,0) até cortar o plano z=4 em r=2. A região fica entre essas duas superfícies.

Passo 7

Dessa forma concluímos o volume do sólido pedido.

Resposta

8pi

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