Qual o volume do sólido que se encontra limitado acima pelo plano
e abaixo pelo paraboloide
? Esboce
gráfico da região de interesse.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado superiormente pelo plano
e inferiormente pelo paraboloide
. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla (ou dupla via projeção), e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para simplificar.
Passo 2
Primeiro identificamos a projeção da região no plano
. Igualando as duas superfícies:
. Isso define um disco de raio 2 no plano
:
,
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, temos
e o elemento de área é
. O volume é dado por
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Para esboçar a região, desenhe no plano
um disco de raio 2. No espaço, o paraboloide
cresce do vértice
até cortar o plano
em
. A região fica entre essas duas superfícies.
Passo 7
Dessa forma concluímos o volume do sólido pedido.