Calcule o ponto médio do segmento de extremidades A=(3,7) e B=(11,-1).

Passo 1

O que o problema pede: calcular o ponto médio do segmento que tem extremidades em A=(3,7) e B=(11,-1).
Informações dadas:
  • As coordenadas do ponto A são \(x_A, y_A = (3,7)).
  • As coordenadas do ponto B são \(x_B, y_B = (11,-1)).
Objetivo claro: encontrar as coordenadas do ponto médio M do segmento \overline{AB}.

Passo 2

Fórmula do ponto médio — explicação didática:
Quando queremos o ponto que fica exatamente no meio de um segmento entre dois pontos no plano, fazemos a média aritmética das coordenadas correspondentes. Isso porque, componentemente, o ponto médio tem a mesma distância em x e em y para cada extremidade.
A fórmula é
M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right),
onde:
  • \(x_A) e \(y_A) são as coordenadas de A,
  • \(x_B) e \(y_B) são as coordenadas de B,
  • o primeiro componente \frac{x_A+x_B}{2} é a média das abscissas (coordenadas x),
  • o segundo componente \frac{y_A+y_B}{2} é a média das ordenadas (coordenadas y).
Por que média? Porque a média aritmética de dois números dá o valor exatamente no meio entre eles numa reta — o mesmo raciocínio vale separadamente para as coordenadas x e y.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a coordenada x do ponto médio:
\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7.
Explanação: somei as abscissas 3 e 11 (dos pontos A e B) e dividi por 2 para obter o valor central em x.

Passo 4

Aplicando a fórmula para a coordenada y do ponto médio:
\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3.
Explanação: somei as ordenadas 7 e -1 (atenção ao sinal negativo) e dividi por 2.

Passo 5

Montando o ponto médio com as duas coordenadas calculadas:
M = (7,\,3).

Passo 6

Verificação (opcional, para ganhar confiança): checar se as distâncias MA e MB são iguais, usando a fórmula da distância entre dois pontos
d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}.
Calcule d(M,A):
d(M,A)=\sqrt{(7-3)^2+(3-7)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.
Calcule d(M,B):
d(M,B)=\sqrt{(11-7)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}.
Como d(M,A)=d(M,B), o ponto M=(7,3) está efetivamente no meio do segmento.

Resposta

(7,3)

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