Considere os vetores de \mathbb{R}^{3}, u=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]. Determine \langle u+3 v, u-v\rangle,||2 u-v||, d(u, v), d(u+v, u-v) nos seguintes casos:
(b) \langle,\rangle é o produto interno com pessos p_{1}=1, p_{2}=2, p_{3}=1

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^{3}
u=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}
e pede para calcular os seguintes valores no caso em que o produto interno é ponderado pelos pesos p_{1}=1,\;p_{2}=2,\;p_{3}=1:
  • \langle u+3v,\;u-v\rangle
  • \|2u-v\|
  • d(u,v)
  • d(u+v,\;u-v)
As informações relevantes que temos são os vetores u e v e os pesos (1,2,1). A resolução começa calculando as combinações lineares envolvidas para depois aplicar a definição do produto interno ponderado, da norma e da distância.

Passo 2

Calculemos as combinações lineares pedidas (fazendo componente a componente):
u+3v=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+9\\\ -1+0\\\ 3-9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}11\\\ -1\\\ -6\end{pmatrix}.
u-v=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 6\end{pmatrix}.
2u-v=2\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4-3\\\ -2-0\\\ 6+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 9\end{pmatrix}.
u+v=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Definição do produto interno ponderado (é aqui que entra a regra dos pesos): para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) com pesos p_{1},p_{2},p_{3},
\langle x,y\rangle = p_{1}x_{1}y_{1}+p_{2}x_{2}y_{2}+p_{3}x_{3}y_{3}.
No nosso caso p_{1}=1,\;p_{2}=2,\;p_{3}=1. A norma associada a esse produto interno é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
A distância entre a e b é
d(a,b)=\|a-b\|.
Essas fórmulas substituem o “produto escalar usual” pelo produto ponderado; a ideia é a mesma, só que cada coordenada é multiplicada pelo seu peso antes de somar.

Passo 4

Calcule \langle u+3v,\;u-v\rangle pelo produto ponderado, usando os vetores calculados no Passo 2:
os componentes de u+3v são (11,-1,-6) e de u-v são (-1,-1,6). Aplicando a fórmula:
\langle u+3v,\;u-v\rangle =1\cdot(11)(-1)+2\cdot(-1)(-1)+1\cdot(-6)(6).
Calcule termo a termo:
1\cdot(11)(-1)=-11,\quad 2\cdot(-1)(-1)=2,\quad 1\cdot(-6)(6)=-36.
Somando:
\langle u+3v,\;u-v\rangle = -11+2-36 = -45.

Passo 5

Calcule \|2u-v\|. Primeiro computamos \langle 2u-v,\;2u-v\rangle com 2u-v=(1,-2,9):
\langle 2u-v,\;2u-v\rangle =1\cdot 1^{2}+2\cdot(-2)^{2}+1\cdot 9^{2}.
Calcule termo a termo:
1\cdot 1^{2}=1,\quad 2\cdot(-2)^{2}=2\cdot 4=8,\quad 1\cdot 9^{2}=81.
Somando:
\langle 2u-v,\;2u-v\rangle = 1+8+81 = 90.
Portanto a norma é
\|2u-v\|=\sqrt{90}= \sqrt{9\cdot 10}=3\sqrt{10}.

Passo 6

Calcule d(u,v)=\|u-v\|. Já temos u-v=(-1,-1,6). Primeiro a forma quadrática:
\langle u-v,\;u-v\rangle = 1\cdot(-1)^{2}+2\cdot(-1)^{2}+1\cdot 6^{2}.
Termos:
1\cdot 1=1,\quad 2\cdot 1=2,\quad 1\cdot 36=36.
Somando:
\langle u-v,\;u-v\rangle = 1+2+36 = 39.
Logo
d(u,v)=\|u-v\|=\sqrt{39}.

Passo 7

Calcule d(u+v,\;u-v). Observe que
(u+v)-(u-v)=2v,
portanto d(u+v,\;u-v)=\|2v\|=2\|v\|. Primeiro calcule \|v\| com v=(3,0,-3):
\langle v,v\rangle = 1\cdot 3^{2}+2\cdot 0^{2}+1\cdot (-3)^{2}=9+0+9=18,
\|v\|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Então
d(u+v,\;u-v)=2\|v\|=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}.

Passo 8

Respire fundo — fizemos tudo passo a passo: montamos as combinações lineares, aplicamos a definição do produto interno ponderado, calculamos normas e distâncias. Se ficou alguma etapa meio chata, releia o cálculo termo a termo; é exatamente assim na prova — sem segredo, só cuidado com os sinais e com os pesos. Vai dar certo!

Resposta

\langle u+3v,\;u-v\rangle = -45
\|2u-v\| = 3\sqrt{10}
d(u,v) = \sqrt{39}
d(u+v,\;u-v) = 6\sqrt{2}

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