e pede para calcular os seguintes valores no caso em que o produto interno é ponderado pelos pesos p_{1}=1,\;p_{2}=2,\;p_{3}=1:
\langle u+3v,\;u-v\rangle
\|2u-v\|
d(u,v)
d(u+v,\;u-v)
As informações relevantes que temos são os vetores u e v e os pesos (1,2,1). A resolução começa calculando as combinações lineares envolvidas para depois aplicar a definição do produto interno ponderado, da norma e da distância.
Passo 2
Calculemos as combinações lineares pedidas (fazendo componente a componente):
Definição do produto interno ponderado (é aqui que entra a regra dos pesos): para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) com pesos p_{1},p_{2},p_{3},
No nosso caso p_{1}=1,\;p_{2}=2,\;p_{3}=1. A norma associada a esse produto interno é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
A distância entre a e b é
d(a,b)=\|a-b\|.
Essas fórmulas substituem o “produto escalar usual” pelo produto ponderado; a ideia é a mesma, só que cada coordenada é multiplicada pelo seu peso antes de somar.
Passo 4
Calcule \langle u+3v,\;u-v\rangle pelo produto ponderado, usando os vetores calculados no Passo 2:
os componentes de u+3v são (11,-1,-6) e de u-v são (-1,-1,6). Aplicando a fórmula:
Respire fundo — fizemos tudo passo a passo: montamos as combinações lineares, aplicamos a definição do produto interno ponderado, calculamos normas e distâncias. Se ficou alguma etapa meio chata, releia o cálculo termo a termo; é exatamente assim na prova — sem segredo, só cuidado com os sinais e com os pesos. Vai dar certo!