Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os vetores u=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5\end{array}\right], w=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}, calcule \|2 u-v\| e d(u+v, v-w) nos seguintes casos:
a) \langle,$\rangle é o produto escalar.
b) \left\langle\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}y_{1} \\\ y_{2}\end{array}\right]\right\rangle=3 x_{1} y_{1}+2 x_{2} y_{2}
Passo 1
O enunciado fornece o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os vetores
Pede para calcular duas grandezas em dois casos diferentes do produto interno:
\|2u-v\| (a norma do vetor 2u-v);
d(u+v,\,v-w) (a distância entre u+v e v-w).
Os dois casos do produto interno são:
a) \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual (ou seja, \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2});
b) \displaystyle \left\langle\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix}\right\rangle=3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}.]
Passo 2
Vamos primeiro calcular explicitamente o vetor 2u-v. Primeiro calcule 2u:
Explico rapidamente o que é norma no caso do produto escalar usual: para um vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix} a norma induzida pelo produto escalar usual é