Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os vetores u=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 5\end{array}\right], w=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}, calcule \|2 u-v\| e d(u+v, v-w) nos seguintes casos:
a) \langle,$\rangle é o produto escalar.
b) \left\langle\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}y_{1} \\\ y_{2}\end{array}\right]\right\rangle=3 x_{1} y_{1}+2 x_{2} y_{2}

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e os vetores
u=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Pede para calcular duas grandezas em dois casos diferentes do produto interno:
  1. \|2u-v\| (a norma do vetor 2u-v);
  2. d(u+v,\,v-w) (a distância entre u+v e v-w).
Os dois casos do produto interno são:
a) \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual (ou seja, \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2});
b) \displaystyle \left\langle\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix}\right\rangle=3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}.]

Passo 2

Vamos primeiro calcular explicitamente o vetor 2u-v. Primeiro calcule 2u:
2u = 2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Agora subtraímos v:
2u - v = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2-2\\[4pt]6-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico rapidamente o que é norma no caso do produto escalar usual: para um vetor \displaystyle x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix} a norma induzida pelo produto escalar usual é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
Aplicando isso ao vetor \displaystyle 2u-v=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix} obtemos
\|2u-v\|=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
Portanto, no caso (a) a primeira resposta é \sqrt{17}.]

Passo 4

Agora vamos calcular a diferença que aparece na distância: u+v e v-w. Primeiro calcule u+v:
u+v=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1+2\\[4pt]3+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]8\end{pmatrix}.
E calcule v-w:
v-w=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-(-1)\\[4pt]5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\end{pmatrix}.
A diferença entre esses dois vetores é
(u+v)-(v-w)=u+v-v+w=u+w.
Podemos também calcular diretamente u+w:
u+w=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 5

No caso (a) — produto escalar usual — a distância entre vetores x e y é
d(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}.
Aqui x-y=u+w=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\end{pmatrix}. Logo
d(u+v,\,v-w)=\|u+w\|=\sqrt{(-2)^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}.
Portanto, no caso (a) a segunda resposta é \sqrt{29}.]

Passo 6

Agora trabalhamos com o produto interno do item (b):
\left\langle\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}y_{1}\\[2pt]y_{2}\end{pmatrix}\right\rangle = 3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}.
A norma induzida por esse produto interno é
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}}.
Aplicamos isso ao vetor já obtido \displaystyle 2u-v=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
\|2u-v\|=\sqrt{3\cdot(-4)^{2}+2\cdot 1^{2}}=\sqrt{3\cdot 16 + 2\cdot 1}=\sqrt{48+2}=\sqrt{50}.
Podemos simplificar \sqrt{50}=5\sqrt{2}. Logo, no caso (b) a primeira resposta é 5\sqrt{2}.]

Passo 7

Para a distância no caso (b) usamos a mesma ideia: a distância é a norma do diferencial, e já vimos que
(u+v)-(v-w)=u+w=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Aplicando a norma induzida pelo produto interno (b) temos
d(u+v,\,v-w)=\|u+w\|=\sqrt{3\cdot(-2)^{2}+2\cdot 5^{2}}=\sqrt{3\cdot 4 + 2\cdot 25}=\sqrt{12+50}=\sqrt{62}.]

Resposta

(a) \|2u-v\|=\sqrt{17}, d(u+v,\,v-w)=\sqrt{29}
(b) \|2u-v\|=5\sqrt{2}, d(u+v,\,v-w)=\sqrt{62}

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